ESPAD III * DÍA 17 PROBLEMAS DE SISTEMAS

PROBLEMAS DE SISTEMAS Para resolver un Problema de Sistemas hay que seguir los siguientes pasos: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado.Si se ha entendido bien, se podrá intuir el número de incógnitas que necesitamos. 2.- DESIGNAR.- Las incógnitas no son siempre los datos que se pide, sino los datos desconocidos que permita resolver el problema. PLANTEAR.- Una vez designadas las incógnitas, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando varias ecuaciones. Para poder resolver el sistema necesitamos, como mínimo, tantas ecuaciones como incógnitas. 3.- RESOLUCIÓN.- Aplicando cualquiera de los tres Métodos vistos. 4.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple las condiciones del enunciado.

Hace 5 años: Ana x – 5 Luis y – 5 Actualmente: Ana x Luis y EJEMPLO_1: “Hace cinco años Ana tenía el doble de edad que Luis. Dentro de siete años Ana tendrá la mitad de la edad de Luis más 12 años. ¿Qué edades tienen actualmente Ana y Luis?. RESOLUCIÓN Sea x = la edad actual de Ana. Sea y = la edad actual de Luis. Hago un esquema: Hace 5 años: Ana x – 5 Luis y – 5 Actualmente: Ana x Luis y Dentro de 7 años: Ana x + 7 Luis y + 7 Hace 5 años: x – 5 = 2.( y – 5 ) (1) Dentro de 7 años: y + 7 x + 7 = --------- + 12 (2) 2

x – 5 = 2.y – 10 (1) 2.x + 14 = y + 7 + 24 (2) Aplico el método de sustitución, despejando x de la primera ecuación x = 2.y - 10 + 5  x = 2.y - 5 Sustituyo la expresión en la ecuación (2): 2.(2.y - 5) + 14 = y + 31  4.y – y = 31 + 10 – 14 3.y = 27  y = 9 Como x = 2.y + 5 = 2.9 - 5 = 18 - 5 = 13  x = 13 COMPROBACIÓN.- Ana tiene ahora 13 años y Luis 9 años. Hace cinco años tenían 8 y 4 años, efectivamente Ana tenía el doble de la edad de Luis. Dentro de siete años tendrán 20 y 16 años, y efectivamente 20 es la mitad de 16 más 12.

EJEMPLO_2: “En una clase los chicos tienen 2 bolígrafos cada uno y las chicas 3 bolígrafos cada una. En total hay 24 alumnos y 61 bolígrafos. ¿Cuántas chicas y chicos hay?. RESOLUCIÓN Sea x = nº de chicos. Sea y = nº de chicas. x + y = 24 (alumnos) 2.x + 3.y = 61 (bolígrafos) Por el M. de Sustitución: x = 24 – y 2.(24 – y) + 3.y = 61  48 – 2.y + 3.y = 61  y = 61 – 48 y = 13 chicas  Como x = 24 – y  x = 24 – 14 = 11 x = 11 chicos Y comprobamos que la solución es correcta.

EJEMPLO_3: “En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 86 patas y 32 cabezas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?. RESOLUCIÓN Sea x = nº de conejos (cada uno tiene 4 patas). Sea y = nº de gallinas (cada una tiene 2 patas). x + y = 32 (animales) 4.x + 2.y = 86 (patas) Por el M. de Sustitución: x = 32 – y 4.(32 – y) + 2.y = 86  128 – 4.y + 2.y = 86   128 – 86 = 4.y – 2.y  42 = 2.y  y = 42 / 2 = 21 y = 21 gallinas  Como x = 32 – y  x = 32 – 21 = 11 x = 11 conejos Y comprobamos que la solución es correcta.

EJEMPLO_4: Por dos cafés y tres bollos me han cobrado 9 €. Ayer a mi amigo Juan por tres cafés y 5 bollos le cobraron 13,50 €. ¿Qué vale cada café y cada bollo?. RESOLUCIÓN Sea x = lo que cuesta el café. Sea y = lo que cuesta el bollo. 2.x + 3.y = 9 (a mi) 3.x + 5.y = 14,50 (a Juan) Por el M. de Reducción: 6.x + 9.y = 27 6.x + 10.y = 29 Restando la primera a la segunda ecuación: y = 2 y = 2 € cuesta cada bollo  Como 2.x + 3.y = 9   2.x + 3.2 = 9  2.x = 9 – 6  x = 3 / 2 x = 1,5 € cada café Y comprobamos que la solución es correcta.

Tenemos dos recipientes de gasolina, A y B. EJEMPLO_5: Tenemos dos recipientes de gasolina, A y B. Si echamos la mitad del contenido de A en B, en B tendremos 26 litros. Si quitamos 2 litros de B y echamos todo lo que queda en B en A, en A tendremos el triple de lo que había en B después de quitar los 2 litros. ¿Cuántos litros tenemos inicialmente en cada recipiente?. RESOLUCIÓN Sea x = nº de litros en A. Sea y = nº de litros en B. ( x / 2 ) + y = 26 x + (y – 2) = 3.(y – 2) Operando para quitar fracciones y paréntesis, queda: x + 2.y = 52  x + 2.y = 52 x + y – 2 = 3.y – 6  x – 2.y = – 4 Por el M. de Reducción: 2.y – (– 2.y) = 52 – (– 4)  4.y = 52  y = 13 y = 13 litros había en B  Como x = 52 – 2.y  x = 52 – 26 = 26 x = 26 litros había en A Y comprobamos que la solución es correcta.