OPERACIONES CON FUNCIONES UNIDAD 1 FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.1 J. POMALES CeL

INTRODUCCIÓN Hasta el momento hemos visto como las funciones sirven para representar procesos. Hoy trataremos a las funciones como objetos. Al estudiarlas como objetos matemáticos, las funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones las cuales también pueden ser graficadas.

SUMA DE FUNCIONES Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente) En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma. Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.

SUMA DE FUNCIONES Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo: Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

SUMA DE FUNCIONES Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios. La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g. En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g

¿Puedes identificar estos 3 elementos comunes en el dominio? SUMA DE FUNCIONES Al lado aparecen tablas de valores para dos funciones f y g. Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios. Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g x f(x) 3 4 5 8 9 -1 11 15 2 x g(x) 3 1 7 9 11 16 -2 ¿Puedes identificar estos 3 elementos comunes en el dominio?

SUMA DE FUNCIONES El dominio de f + g es {3, 9, 11} EJEMPLO SUMA DE FUNCIONES El dominio de f + g es {3, 9, 11} No es posible definir los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números. x f(x) 3 4 5 8 9 -1 11 15 2 x g(x) 3 1 7 9 11 16 -2

EJEMPLO SUMA DE FUNCIONES Naturalmente que si los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar. x f(x) 3 4 5 8 9 -1 11 15 2 x g(x) 3 1 7 9 11 16 -2 x (f + g)(x) 3 4 + 1 = 5 9 -1 + 0 = -1 11 3 + 1 = 4 Finalmente, en este caso si podremos sumar aquellos valores donde los dominios eran comunes

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división. Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero. x f(x) 3 4 5 8 9 -1 11 15 2 x g(x) 3 1 7 9 11 16 -2

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES EJEMPLO OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES x f(x) 3 4 5 8 9 -1 11 15 2 x g(x) 3 1 7 9 11 16 -2 x (f - g)(x) 3 9 -1 11 2 x (f · g)(x) 3 4 9 11 3 11 4 (f / g)(x) x Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida, así que ese valor queda excluido en la división

DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g funciones, y sea D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x  D. La función ( f / g)(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador {x  D | g ≠ 0}

EN OTROS CASOS Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas. Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

Si y realiza las siguientes operaciones EJEMPLO Si y realiza las siguientes operaciones D = 

Si y realiza las siguientes operaciones EJEMPLO Si y realiza las siguientes operaciones D = 

Si y realiza las siguientes operaciones EJEMPLO Si y realiza las siguientes operaciones D = 

Si y realiza las siguientes operaciones EJEMPLO Si y realiza las siguientes operaciones D = , pero x ≠ (Dominio Restringido)

REFERENCIAS PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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