Ecuaciones

Definiciones Fundamentales

IGUALDADES Y ECUACIONES Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual e.j: 20+5=10+5+5+5 1º miembro 2º miembro Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.También se puede llamar igualdad algebraica. e.j: x+10=20-12 Igualdades y ecuaciones Igualdad numérica ecuación

Definiciones Ecuación: Igualdad que contiene variables. Ecuación Lineal: Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1. Ecuación Trivial: Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número).

Definiciones Continuación… Solución de una ecuación lineal: Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma. Resolver la ecuación: Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.

Propiedades de la Igualdad

Para que una ecuación permanezca balanceada… Hay que aplicar las propiedades de la igualdad: Propiedad Aditiva de la Igualdad Propiedad Multiplicativa de la Igualdad

Propiedad Aditiva Para todo número a, b, c: Si a = b, entonces, a + c = b + c Esta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado.

Propiedad Multiplicativa Para todo número a, b, c, c 0: Si a = b, entonces, a . c = b . c Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado.

Propiedad idéntica o reflexiva Establece que toda cantidad o expresión es igual a si misma. Ejemplos: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad simétrica Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere. Ejemplos: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 Si a - b = c, entonces c = a - b Si x = y, entonces y = x

Propiedad transitiva Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros también son iguales. Ejemplos: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5 Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b Si m = n y n = p, entonces m = p

Propiedad uniforme Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. Ejemplos: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3) Si a = b, entonces a + x = b + x

Propiedad cancelativa Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera. Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12 Si a + b = c + b, entonces a = c Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2

Aplicación de las Propiedades de la Igualdad

Demostración de proceso para resolver ecuación 2x + 5 = 11 Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo. Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2. Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.

Continuación de proceso... 2x + 5 = 11 Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad. Se elimina una operación haciendo la operación contraria: Se elimina una suma restando Se elimina una resta sumando Se elimina una multiplicación dividiendo Se elimina una división multiplicando.

Demostración de proceso... 2x + 5 = 11 2x + 5 – 5 = 11 – 5 2x + 0 = 6 2x = 6 2 2 x = 3 Demostración de proceso...

Otro ejemplo: 6x – 9 = 27 6x – 9 = 27 6x –9 + 9 = 27 + 9 6x + 0 = 36 6x = 36 6 6 x = 6

Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6 3x – 1 = - 4x + 6 3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1 3x = - 4x + 7 3x + 4x = 4x + - 4x + 7 7x = 7 7 7 x = 1

Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10 2(x – 8) = 10 2x – 16 = 10 2x = 10 + 16 2x = 26 2 2 x = 13

Ejemplos de Ecuaciones Lineales en Una Variable

Ejemplos de Ecuaciones 3x + 5 = 8 -2x - 6y = 12 x2 – 6x + 8 = 25 y3 + 8y2 – 10y = 36 ¿Cuáles son lineales? Ejemplos de Ecuaciones

Ejemplos de Ecuaciones 3x + 5 = 8 -2x - 6y = 12 x2 – 6x + 8 = 25 y3 + 8y2 – 10y = 36 ¿Cuáles son lineales en una variable? Ejemplos de Ecuaciones

Proceso para resolver una ecuación lineal en una variable

Para resolver una ecuación lineal… 3x – 7 = 14 Hay que convertir la ecuación anterior a la ecuación trivial, o sea, hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el derecho.

Recordar que... Una ecuación es como una balanza de dos platillos… Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.

Ejemplo: Hay que añadir 2 también, en el lado derecho Si añado 2 en el lado izquierdo

Ecuaciones que contienen fracciones

Ecuaciones que contienen fracciones Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones: Método de Proporciones Método de No-Proporciones

Ecuaciones que contienen fracciones Método de Proporciones Aplica cuando es una proporción. Una proporción es una igualdad entre dos fracciones. Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2 2x – 4 = x + 8 3 5 En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad.

Ecuaciones que contienen fracciones Método de Proporciones x – 4 = x + 4 3 2 2 (x – 4) = 3 (x + 4) 2x – 8 = 3x + 12 -12 + -8 = 3x – 2x -20 = x Se multiplica cruzado.

Ecuaciones que contienen fracciones Método de No-Proporciones Aplica cuando la ecuación no es una proporción. 5 - 2x = 9 3 x + 3 = 2x - 5 4 5 3

Ecuaciones que contienen fracciones Método de No-Proporciones 5 - 2x = 9 3 5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3 3 1 15 – 2x = 27 -2x = 27 – 15 -2x = 12 -2 -2 x = -6 Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD.

Reflexión Ecuación Condicional Ecuación que tiene una sola solución (Como todas las anteriores) Hay ecuaciones especiales que no son condicionales. Veamos...

Ecuaciones Especiales

Ecuaciones Especiales Ecuación Identidad La solución es infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito). Ecuación Inconsistente No tiene solución.

Ecuación Identidad Ecuación Identidad 2x + 1 = 5x + 1 - 3x 2x + 1 = 2x + 1 2x – 2x = 1 – 1 0 = 0 Solución son todos los números Reales Enunciado cierto

Ecuación Inconsistente Ecuación Inconsistente 2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x) 6x + 2 = 9x + 3 – 3x 6x + 2 = 6x + 3 6x – 6x = 3 – 2 0 = 1 No tiene solución o la solución es el conjunto nulo. Enunciado falso

Ejercicios de Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones: x – 8 = 20 6 = 4 - 5x x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8 3x = 81 16 + x = 3x - 5 -5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3) 2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5 6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)

Respuestas x = 28 x = 2/-5 x = 48 x = 20/3 x = 27 x = 21/2 x = -9 x = 2/3 x = 3 No tiene solución x = 9/2 La solución es todos los Reales