ANÁLISIS E INTREPRETACIÓN DE DATOS SESIÓN 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

INTRODUCCIÓN Las medidas de tendencia central nos sirven de guía para encontrar los datos centrales y representativos de un conjunto de observaciones en un estudio estadístico. Sin embargo, ¿Qué tan “representativos pueden llegar a ser? Para resolver este interrogante es necesario acudir a medidas que nos hablen sobre la variabilidad de los datos, en otras palabras sobre qué tan lejanos son los datos con respecto a las medidas de tendencia central más relevantes. A estas medidas las llamaremos medidas de dispersión o de variabilidad

INTERPRETACIÓN DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN Como indicamos anteriormente las medidas de dispersión nos dicen que tan lejanas son las observaciones en un estudio estadístico con respecto a las medidas de tendencia central, si encontramos un alto valor de dispersión significa que los datos son poco homogéneos con las medidas de tendencia central y por lo tanto dicha medida no es un descriptor muy adecuado. Si por el contrario encontramos medidas de dispersión bajas significa que el estadístico utilizado representa muy bien a los datos debido a que en general estos son similares en valor al estadístico propiamente dicho (media o mediana)

PRINCIPALES MEDIDAS DE DISPERSIÓN A continuación listaremos las medidas que usaremos par medir la dispersión de datos, más adelante estudiaremos de manera más detenida cada una de ellas: Rango (R) Desviación promedio Varianza ( ) Desviación típica o estándar (s) Coeficiente de variación (CV)

Rango El Rango o amplitud se define como la diferencia entre las observaciones más extremas de un conjunto de datos, esto es: Aunque es una medida muy fácil de calcular no es un gran indicador de dispersión debido a que solo usa dos observaciones y a que puede verse afectado por observaciones muy extremas con respecto al conjunto de datos

Desviación Definiremos como desviación a la diferencia entre cada observación con respecto a una medida de tendencia central como la media o la mediana. Para calcular la variabilidad que una distribución tiene con respecto a su media (mediana), se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética (o bien mediana). Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación promedio) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Desviación promedio Definimos la desviación promedio como la media aritmética del valor absoluto de las desviaciones (entre cada observación y la medida de tendencia central –media o mediana) Para la desviación promedio con respecto a la media tenemos: -Para datos sin agrupar: -Para datos agrupados:

Para la desviación promedio con respecto a la mediana tenemos: -Para datos no agrupados: -Para datos agrupados:

VARIANZA Sin embargo la desviación promedio no es un medidor de dispersión muy fuerte por lo cuál se suele usar como indicador principal de dispersión una medida conocida como varianza, que se define como la media de las desviaciones cuadráticas de las observaciones. Esto es: Para datos no agrupados: Para datos agrupados:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR La varianza tiene como inconveniente que debido a que su cálculo se realiza elevando al cuadrado las desviaciones tiene como unidades las mismas de la variable pero en orden cuadrático, por ejemplo si es una medición de dispersión de edades en años la varianza tendrá por unidades años al cuadrado Por esta razón se suele calcular la raíz cuadrada de la varianza y a ella se le llama Desviación estándar, esto es:

PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Ambas son sensibles a la variación de cada una de las puntuaciones, es decir, si una puntuación cambia, cambia con ella la varianza (por lo tanto también la desviación estándar). La razón es que si miramos su definición, la varianza es función de cada una de las puntuaciones. La desviación típica tiene la propiedad de que en el intervalo se encuentra al menos el 75% de las observaciones. No es recomendable el uso de ellas cuando tampoco lo sea el de la media como medida de tendencia central

COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación nos permite la comparación entre diferentes poblaciones (o muestras según el caso) y nos sirve como un indicador de confiabilidad de las estimaciones en la estadística inferencial según los expertos del DANE: “Se suele considerar que el resultado de una estimación es bueno si su coeficiente de variación es menor del 5 %; aceptablemente práctico, entre el 5 % y el 10%; de baja precisión si es mayor del 10 %. Y menor del 15% y no útil si es mayor del 15%”. (No útil se refiere a usar los datos con fines netamente descriptivos) Para calcularlo basta con dividir la desviación estándar sobre la media aritmética, porcentualmente tenemos:

Ejemplo para datos no agrupados Calcular las medidas de dispersión para el conjunto de datos: 3,5,4,3,6,5 Para este conjunto nuestra media es 4.333 y la mediana es 5 Las medidas de dispersión serían: R=6-3=3

Para este caso tenemos datos con una dispersión medianamente alta, en otras palabras los datos están en general alejados de la media aritmética por una unidad (al igual que de la mediana).

Ejemplo para datos agrupados Li-1 Li xi ni xini |xi- media|ni |Xi-mediana|ni ni (xi-media)^2 10-20 15 12 180 198.14 201.60 3271.61 20-30 25 5 125 32.56 34.00 212.01 30-40 35 525 52.33 48.00 182.53 40-50 45 8 360 107.91 105.60 1455.49 50-60 55 3 165 70.47 69.60 1655.11 Total 43 1355 461.40 458.80 6776.74

La media sería: 31. 51 La mediana: 33 Dx= 461. 4/43=10. 73 Dmed= 458 La media sería: 31.51 La mediana: 33 Dx= 461.4/43=10.73 Dmed= 458.8/43=10.41 s2=6776.74/42=161.35 s= CV=(12.7/31.51)*100%=40.31% Acá vemos una altísima dispersión en los datos