Universidad Nacional de Colombia Fundamentos de física moderna Nicolás Galindo Gutiérrez Código: G1E09Nicolas ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER APLICACIONES

 En 1925 Erwin Schrödinger plantea una ecuación que describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista.  Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica.  Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.  La cantidad variable que caracteriza las ondas de De Broglie se le conoce como función de onda. El valor de la función de onda Ψ asociada con un cuerpo en movimiento en un punto particular (x,y,z) y en un instante de tiempo t, está relacionado con la probabilidad de encontrar el cuerpo en ese punto y en ese instante. Ecuación de Schrödinger

Ecuación de Schrödinger -Caso de un electrón libre-  La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión espacial, tiene la forma:  Para una partícula libre donde U(x) =0, la solución de la función de onda puede ponerse en la forma de una onda plana.  Para otros problemas, el potencial U(x) sirve para establecer las condiciones de contorno en la parte espacial de la función de onda, y es útil para separar la ecuación en, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y la fórmula para la evolución en el tiempo de la función de onda.

Ecuación de Schrödinger -Caso de un electrón libre-  En una partícula libre, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, toma la forma :  Y dada la dependencia de tanto la posición como del tiempo, se intenta una función de onda de la forma:  Suponiendo que la función de onda representa un estado de energía determinada E, la ecuación puede ser separada por el requisito:  Procediendo separadamente con las ecuaciones de posición y de tiempo, y tomando las derivadas indicadas:

Ecuación de Schrödinger -Caso de un electrón libre-  Tratando el sistema como una partícula, donde:  Tratando el sistema como un paquete de ondas, o una entidad de tipo fotón, donde la hipótesis de Planck da:

Ecuación de Schrödinger -Pozo infinito -  Como la energía potencial es infinita fuera del pozo, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro del pozo. Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser nula en x=0 y x=L.  De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:  Donde : k : número de onda  Solución de la Ecuación: con A y B constantes.

Ecuación de Schrödinger -Pozo infinito -  Condición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos(0) =1  Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ  n=1,2,3,…

Ecuación de Schrödinger -Pozo infinito -  Pozo cuadrado finito. E>V0 Estudiaremos luego la solución. Consideraremos ahora E<V0  Dentro del pozo: V(x) =0  Fuera del pozo: V(x) =V0 Condición: ψ(x) y ψ´(x) deben ser continuas en los límites del pozo. 

REFERENCIAS  Barco, Héctor. Rojas, Edilberto. Electromagnetismo y Física Moderna. Tercera edición. Editorial Universidad Nacional.  schrodinger  men-Capitulo4.pdf