31 Olimpiada Matemática Thales Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 S.A.E.M THALES 1

31 Olimpiada Matemática Thales Π-RATAS DEL CARIBE S.A.E.M THALES Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 2 2

Solución Menú Problema nº 6. π-RATAS DEL CARIBE El pirata Malapata controla todo el Mar de los Números y los tesoros que se encuentran en sus doce islas. En las islas hay desde 1 tesoro hasta 12 tesoros, de forma que dos islas no pueden tener el mismo número de tesoros. Cada semana, Malapata hace distintas expediciones cuadradas y expediciones triangulares para comprobar que sus tesoros no han sido robados (como se muestra en los dibujos A, B y C). Malapata llama botín de una expedición al número total de tesoros que hay en una expedición. Sabe que el botín de cualquier expedición cuadrada es siempre el mismo, y el botín de cualquier expedición triangular es el mismo botín de su expedición opuesta (véase el dibujo C). Además sabe que existe una diferencia de 3 tesoros entre el botín de una expedición triangular y cualquiera que no sea su opuesta. Ayuda a Malapata y completa el dibujo adjunto, donde se muestra el número de tesoros de cada isla. Razona cómo lo has hecho. Solución Menú 3

Solución: Enunciado Menú Para poder referirnos a las islas sin equívocos, nombramos a cada una de ellas con la letra I (de isla) y como subíndice el número de la posición que ocupa (visualizando las 12 islas como la esfera de un reloj) Empecemos analizando las expediciones cuadradas Hay 3 posibles expediciones cuadradas que pasan por las 12 islas sin que una isla pueda estar en dos expediciones distintas. Por tanto el botín de las 3 expediciones cuadradas será la suma de los números del 1 al 12: 1+2+3+….+10+11+12=78. Y como las tres tienen el mismo botín, cada expedición cuadrada tendrá un botín de 26 tesoros. Enunciado Menú 4

VEAMOS COMO QUEDA GRÁFICAMENTE Solución: Seguimos con las expediciones cuadradas, veamos qué información podemos obtener de cada una de ellas I3 + I12 = 14 I7 + I10 = 13 I5 + I11 = 10 Los tesoros que nos faltan por colocar son 2, 4, 6, 7, 8 y 10. Por tanto en I7 e I10 estarán el 6 y el 7, en I3 e I12 estarán el 4 y el 10 y en I5 e I11 el 2 y el 8 VEAMOS COMO QUEDA GRÁFICAMENTE Enunciado Menú 5

Solución: Enunciado Menú La única forma de conseguir el 13 con los números sin colocar es usando el 6 y el 7. También es fácil hallar los otros Enunciado Menú 6

Estudiemos las expediciones triangulares para decidir: Solución: Estudiemos las expediciones triangulares para decidir: Empezaremos usando la pareja (expedición triangular y opuesta) de la que tengamos más datos. Como el botín de las dos expediciones triangulares opuestas debe de ser igual. I10 +14 = I12 +17. Es decir, I10-3=I12. La única posibilidad es que I10=7 e I12=4. Y por tanto I7=6 e I3=10 Enunciado Menú 7

I11+16=I5+10. Es decir, I11+6=I5, por los que I5=8 e I11=2 Solución: Utilizamos otra de las expediciones triangulares y su apuesta para determinar la única duda que nos queda I11+16=I5+10. Es decir, I11+6=I5, por los que I5=8 e I11=2 Enunciado Menú 8

Solución: Enunciado Menú HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... No hemos necesitado usar que existe una diferencia de tres tesoros entre una expedición triangular y cualquier otra que no sea su opuesta. Pero podemos comprobar que se cumple: las islas 1, 5 y 9 suman 18 tesoros (al igual que las islas 3, 7 y 11) y las islas 2, 6 y 10 suman 21 tesoros (lo mismo que las islas 4, 8 y 12) HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas? Enunciado Menú 9