2.1 DEFINICIONES LINEAS DE ESPERA, CARACTERISTICAS Y SUPOSICIONES Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada. Una situación de línea de espera, se genera de la siguiente manera: El cliente llega a una instalación se forma en un línea de espera. El servidor elige a un cliente de la línea de espera, para comenzar el servicio. Al término del servicio se repite el proceso de elegir un nuevo cliente.   Cliente.- Unidades que entran al sistema para recibir un servicio. Pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. Servidor.- Unidades encargadas de prestar un servicio. Pueden ser las cajas en un banco, en un supermercado, unidades de emergencias, un médico, una máquina, etc. Disciplina de servicio.- Regla establecida para proporcionar un servicio a un cliente en la línea de espera.  

TIPOS DE LINEAS DE ESPERA.

2.2 Terminología Y Notación Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f Donde los símbolos representan lo siguiente: a= La distribución de tiempo entre llegadas. b= La distribución de tiempo de servicio. c= El número de servidores en paralelo. d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD). e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio). f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.

Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:   M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana). D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista Ek =  Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K. G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier distribución arbitraria).

2.3 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA En el primer proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura. MODELO DE NACIMIENTO PURO Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson. MODELO DE MUERTE PURA Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de

2.4 MODELOS POISSON Existen una gran variedad de modelos para los sistemas de colas, las dos características más importantes serán : Los tiempos de llegada. b) Los tiempos de servicio. En los sistemas de colas reales no es posible determinar con exactitud estos dos tiempos, es decir no son determinísticos, los más comunes son los modelos probabilísticos, donde se dan un promedio de  estos tiempos, por lo tanto tenemos que usar una distribución de probabilidad que se ajuste lo más cercano a la realidad.

Para calcular la probabilidad de cuál será el tiempo entre llegadas se utiliza la distribución exponencial, esta distribución tiene una función de densidad  de probabilidad: (densidad de probabilidad continua). Donde: T  es el tiempo entre los eventos (tiempo de llegadas o tiempo deservicio). α  es la tasa media que ocurra una llegada o servicio. Si se grafica esta distribución de probabilidad nos da lo siguiente:

La media de esta función esta dado por: La varianza de esta función es: Aquí se puede observar las siguientes propiedades de esta distribución:1) La probabilidad de que ocurra un evento siempre es positiva pero menor que 12) fT(t) es una función decreciente respecto a t, es decir es más probable que el valor de T este cercano a la media.3) La distribución de probabilidad del tiempo para que ocurra un evento, no depende del tiempo en que ocurrió el  evento anterior, es decir es independiente.

2.4.1 Un servidor. Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.   Llegadas.       Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez .   Cola.     En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.   Instalación de Servicio.     Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente.   Salidas.     No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.   Características de operación . Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio exponenciales.

Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :   Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).

2.4.2 Modelos de varios servidores Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea :   N = número de servidores. A = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo). S = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).  

La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de tiempo, lo cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2

2.5 Análisis de costos Costos Históricos.- Medida del valor de mercado de un activo al momento de su compra para efectos de impuestos. • Costos Corrientes.- Medida del valor de mercado de un activo en el presente relevante para la toma de decisiones gerenciales. • Determinantes de los costos corrientes • A) Costo de reemplazo.- Costos de duplicar la capacidad productiva usando tecnología del momento actual. • B) Costo de oportunidad.- Valor al que se renuncia asociado con el uso actual del activo en lugar de su uso en la mejor alternativa. En el Largo Plazo todos los factores son variables por tanto no hay costos fijos. En especial, el tamaño de planta es variable. • Suponga que los precios de los factores no cambian con el nivel de producción, existe una relación directa entre las funciones de costos y de producción.

BIBLIOGRAFIA http://es.scribd.com/doc/59249705/5-Lineas-de-espera http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema33.htm http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema37.htm Introducción a la Inv. Operaciones (Hillier-Lieberman) McGraw-Hill Octava edición 2007. Investigación de operaciones Shamblin, J. y Stevens . México: McGraw-Hill. 1975