Realimentacion de estado Sistemas dinamicos Realimentacion de estado

Contenido La definicion del problema Resultados fundamentales Calculo de la ganancia de realimentación Regulacion y seguimiento

La definicion del problema

El proposito del control en terminos de la salida La mayoria de los sistemas de control pueden ser formulados como se muestra en la figura El problema es diseñar un sistema tal que la salida de la planta y(t) siga tan cerca como sea posible la señal de referencia r(t) u(t): señal de control y(t): señal controlada (salida) r(t): señal de referencia y(t) t r(t)

El proposito del control en termino de los estados En ocasiones los sistemas de control se formulan en terminos de los estados Estabilidad (regulacion): estabilizar el sistema alrrededor de un punto de equilibrio Dado el punto de equilibrio xe n, hallar la ley de control u=(x) tal que Control: llevar el sistema entre dos puntos Dados x0, xf n, hallar una entrada u(t) tal que x0 xf

Dos tipos de control Control en lazo abierto: la “ley” de control u(t) depende solamente de la señal de referencia r(t) y es independiente de la salida de la planta y(t) No hay informacion de si el control se esta realizando correctamente

Dos tipos de control Control en lazo cerrado (realimentado): la “ley” de control u(t) depende de la señal de referencia r(t) y de la salida de la planta y(t) Reduce el efecto de la variación de los parámetros y suprime el ruido y los disturbios

La realimentacion del estado La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante Ganancia de realimentacion

La realimentacion del estado La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante, con precompensacion Ganancia de precompensacion Para lograr seguimiento Ganancia de realimentacion

Funciones de transferencia Funcion de transferencia de la planta en lazo abierto Funcion de transferencia de malla abierta (sistema de realimentacion)

Funciones de transferencia Funciones de transferencia de lazo cerrado

Ejemplo Sea el sistema Newtoniano con posicion p(t), La entrada es la fuerza u(t), La salida y(t) es la suma de la posicion y la velocidad La funcion de transferencia

Ejemplo Construimos una realizacion del sistema definiendo, Con m = 1 el sistema en variables de estado es

Ejemplo Aplicando realimentacion de estado El sistema en lazo cerrado queda

Ejemplo Finalmente, la funcion de transferencia en lazo cerrado es La planta original Observaciones: Se puede afectar la ubicación de los polos arbitrariamente No puede afectar la ubicación de los ceros Se puede cancelar un cero con un polo: implica que el modelo en variables de estado en lazo cerrado puede no ser mínimo

Preguntas Preguntas ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la controlabilidad y la observabilidad? ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la estabilidad? ¿Qué podemos hacer con la realimentación de estado? Ubicación de los polos Qué pasa si los estados no estan disponibles? Observadores

Resultados fundamentales

Invariancia de la controlabilidad Teorema: (Invariancia de la controlabilidad respecto a la realimentacion de los estados para sistemas SISO). El par (ABK, B), para cualquier vector real constante K, es controlable si y solo si (A, B) is controllable. Prueba

Invariancia de la controlabilidad Sea x0 y x1 dos estados arbitrarios Si  es controlable, existe una entrada u1 que transfiere x0 a x1 en un tiempo finito Si escogemos r1= u1+Kx, entonces la entrada r1 del sistema realimentado transferira x0 a x1. Aunque la propiedad de la controlabilidad es invariante bajo cualquier realimentacion del estado, la propiedad de la observabilidad puede no preservarse

Ejemplo 1 La ecuación de estado es controlable y observable. Por lo tanto, la ecuación de estado de f es controlable pero no observable

Ejemplo 2 La observabilidad no se preserva. Por ejemplo: Seleccionando

Ejemplo 2 De la prueba de observabilidad

La forma canonica controlable Otra forma canonica de los sistemas controlables es la forma canonica controlable Cuya funcion de transferencia es:

Teorema Teorema: Considere la ecuacion de estado de  con n = 4 y el polinomio caracteristico Si  es controlable, entonces puede ser transformado a la forma canonica controlable por la transformacion

Prueba del teorema Sean C y las matrices de controlabilidad de  y . Si  es controlable o C es no singular, entonces tambien lo es . Por lo tanto tenemos o , de donde la matriz de la derecha de Q es

Prueba del teorema la ecuacion de estado es una realizacion de . Por lo tanto, la funcion de transferencia de  y son iguales a

Teorema: Asignacion de los autovalores Teorema: Si la ecuacion de estado SISO  es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r  Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares Prueba preliminar Asumamos inicialmente que  esta en la forma canonica controlable .

Prueba preliminar del teorema El sistema en lazo cerrado (sin la referencia) Sistema en lazo cerrado deseado (sin la referencia)

Prueba preliminar del teorema Comparando, la ganancia de realimentacion es La ganancia de realimentacion ubica los polos del sistema SISO controlable, en la forma controlable estandar, en las localizaciones deseadas

Teorema: Asignacion de los autovalores Teorema: Si la ecuacion de estado SISO  es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r  Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares Prueba Si  es controlable, puede ser transformado a la forma canonica controlable . Substituyendo en la realimentacion de estado conduce a Y ya que , entonces y tienen los mismos autovalores

Prueba del teorema Ahora, de cualquier conjunto de n autovalores deseados podemos formar el polinomio caracteristico deseado Si elegimos entonces la ecuacion de estado del sistema realimentado es

Prueba del teorema LQQD El polinomio caracteristico de ( ) y, consecuentemente, de ( ) es igual a . Por lo tanto, la ecuacion de estado del sistema realimentado tiene los autovalores deseados Finalmente, la ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, LQQD

Invarianza de los ceros Considere la planta descrita por (A, B, C). Si (A, B) es controlable, (A, B, C) puede ser transformado a la forma controlable y su función de transferencia es Despues de la realimentacion de estado, la ecuacion de estado es (ABK, B, C) permaneciendo en la forma canonica controlable. La funcion de transferencia de r a y es La realimentacion de estados puede mover los polos de una planta pero no tiene ningun efecto sobre los ceros

Estabilizacion Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma Como la matriz de estado es triangular a bloques, los autovalores de la matriz en las coordenadas originales son la union de los autovalores de y La realimentacion de estados lleva al sistema a lazo cerrado a

Estabilizacion Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma La realimentacion de estados lleva al sistema a lazo cerrado

Estabilizacion Ecuacion de estado del sistema realimentado y sus autovalores no son afectados por la realimentacion de estado y por lo tanto no pueden modificarse La condicion de controlabilidad de (A, B) no es solo suficiente sino tambien necesaria para asignar todos los autovalores de (A  BK) a cualquier posicion deseada

Estabilizabilidad Definicion: Si es stable, y si es controlable, entonces se dice que es estabilizable. La propiedad de estabilizabilidad es una condicion mas debil que la de controlabilidad para alcanzar estabilidad a lazo cerrado. Es equivalente a pedir que los autovalores no controlables sean estables.

Calculo de la ganancia de realimentación

Como encontrar la ganancia de realimentación Hallar el polinomio característico de A: Calcular el polinomio característico, , de los autovalores deseados. Objetivo: aplicar el teorema de la asignacion de los autovalores Los autovalores deseados se escogen según el comportamiento deseado en lazo cerrado

Como encontrar la ganancia de realimentación Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable Hallar la transformacion de coordenadas hallar C y, y entonces calcular Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales

Ejemplo 2 Considere la planta descrita por Esta planta es controlable, el polinomio característico es y, por consiguiente, los autovalores son 4 y 2. Es inestable. Diseñe una ganancia de realimentación K tal que los autovalores del sistema realimentado se localizen en 1  j2.

Calculo de la ganancia de realimentación Hallar el polinomio característico de A: Calcular el polinomio característico de los autovalores deseados.

Calculo de la ganancia de realimentación Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable Hallar la transformacion de coordenadas

Calculo de la ganancia de realimentación Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales EJERCICIO: Construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink

Ejemplo 3: El pendulo invertido Linealizado alrededor de  = 0

Ejemplo 3: El pendulo invertido Modelo lineal

Ejemplo 3 Considere el péndulo invertido dado por Es controlable, por lo tanto, sus autovalores pueden ser asignados arbitrariamente. El polinomio característico correspondiente es

Ejemplo 3 Autovalores deseados

Ejemplo 3 Considere el péndulo invertido del ejemplo 3 Sean los autovalores deseados 1.5  0.5j y 1  j . EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el vector P.

Ejemplo 4 Considere el péndulo invertido dado por ¿Cómo estan definidos los estados del sistema? ¿Cuál es la salida? Calcule la ganancia de realimentacion de estado para los autovalores deseados del ejemplo 3

Regulacion y seguimiento

Regulacion y seguimiento El problema de la regulacion se da cuando la referencia es nula, es decir r = 0; se pretende basicamente que el sistema sea asintoticamente estable y que la respuesta a condiciones iniciales producidas por perturbaciones tienda a cero. El problema del seguimiento se da cuando se pretende que la salida tienda a la referencia r(t), variable en el tiempo. Es comun que las derivadas de la señal de referencia sean continuas. El problema del servomecanismo es un caso particular del de seguimiento.

El problema de la regulacion Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignar los autovalores del lazo cerrado calculando K para obtener la matriz de estado A  BK La respuesta del sistema realimentado entonces, con la matriz directa D = 0 Asi, el problema de la regulacion (r(t) = 0) queda resuelto si K se calcula para que A  BK sea Hurwitz La regulacion puede lograrse facilmente introduciendo realimentacion de estado

El problema del seguimiento Para el problema de seguimiento de referencia constante r(t) = a  0, ademas de que A  BK sea Hurwitz, requerimos una condicion en la ganancia de precompensacion N, para que, La funcion de transferencia en lazo cerrado del sistema precompensado es precompensacion

El problema del seguimiento A fin de que y(t) siga asintoticamente cualquier paso en la referencia, necesitamos Si tiene uno o mas ceros en s = 0, no es posible el . seguimiento

El problema del seguimiento La condicion de controlabilidad del par (A, B) puede relajarse a la de estabilizabilidad. La restriccion estara en que entonces no habra control total de la velocidad de convergencia del error. Si hubiera modos no controlables muy cercanos al eje jw, la respuesta podria ser demasiado lenta u oscilatoria para considerar la regulacion y seguimiento de referencia constante satisfactorios.

Ejemplo: Seguimiento de referencia constante En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2. Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes. La funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado es

Ejemplo: Seguimiento de referencia constante En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2. Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes. EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink

Bibliografia A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

FIN