Distribución probabilística normal 1-1 Capítulo siete Distribución probabilística normal OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Enumerar las características de la distribución probabilística normal. DOS Definir y calcular valores de z. TRES Determinar la probabilidad que una observación esté entre dos puntos utilizando la distribución normal estándar. CUATRO Determinar la probabilidad que una observación esté por arriba (o por abajo) de un valor determinado, utilizando la distribución normal estándar.

Distribución probabilística normal 1-1 Capítulo siete continuación Distribución probabilística normal OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: CINCO Comparar dos o más observaciones que tengan distintas distribuciones de probabilidad. SEIS Utilizar la distribución normal para aproximar la distribución probabilística binomial.

Características de la distribución probabilística normal 7-3 Características de la distribución probabilística normal La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución. La media, mediana y moda de la distribución aritmética son iguales y se localizan en el pico. La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda.

Características de la distribución probabilística normal 7-4 Características de la distribución probabilística normal La distribución normal es simétrica respecto a su media. La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

Características de una distribución normal - 5 . 4 3 2 1 x f ( r a l i t b u o n : m = , s2 Características de una distribución normal La curva normal es simétrica En teoría, la curva se extiende hasta infinito a La media, mediana y moda son iguales

Distribución normal estándar 7-6 Distribución normal estándar Una distribución normal que tiene media igual a 0 y desvición estándar igual a 1 se denomina distribución normal estándar. Valor z: la distancia entre un valor seleccionado, designado como X, y la población media , dividida entre la desviación estándar de la población ,

7-7 EJEMPLO 1 El ingreso mensual que una corporación grande ofrece a los graduados en MBA tiene una distribución normal con media de $2000 y desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno de $1700? Para X = $2200, z = (2200 - 2000) /200 = 1.

EJEMPLO 1 continuación Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5 7-8 EJEMPLO 1 continuación Para X = $1700, z = (1700 - 2000) /200 = - 1.5 Un valor z igual a 1 indica que el valor de $2200 es mayor que la desviación estándar de la media de $2000, así como el valor z igual a -1.5 indica que el valor de $1700 es menor que la desviciación estándar de la media de $2000.

Áreas bajo la curva normal 7-9 Áreas bajo la curva normal Cerca de 68% del área bajo la curva normal está a menos de una desviación estándar respecto a la media. Alrededor de 95% está a menos de dos desviaciones estándar de la media. 99.74% está a menos de tres desviaciones estándar de la media.

Áreas bajo la curva normal - 5 . 4 3 2 1 x f ( r a l i t b u o n : m = , s2 Áreas bajo la curva normal Entre: 1.68.26% 2.95.44% 3.99.74% © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-11 EJEMPLO 2 El consumo de agua diario por persona en New Providence, Nueva Jersey tiene una distribución normal con media de 20 galones y desviaición estándar de 5 galones. Cerca de 68% del consumo de agua diario por persona en New Providence está entre cuáles dos valores. . Esto es, cerca de 68% del consumo diario de agua está entre 15 y 25 galones.

7-12 EJEMPLO 3 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de New Providence seleccionada al azar use menos de 20 galones por día? El valor z asociado es z = (20 - 20) /5 = 0. Así, P(X<20) = P(z<0) = .5 ¿Qué prcentaje usan entre 20 y 24 galones? El valor z asociado con X = 20 es z = 0 y con X = 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) = P(0<z<.8) = 28.81%

EJEMPLO 3 P(0 < z < .8) = .2881 0 < X < .8 - 5 . 4 3 2 1 x f ( r a l i t b u o n : m = , EJEMPLO 3 P(0 < z < .8) = .2881 0 < X < .8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-14 EJEMPLO 3 continuación ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre 18 y 26 galones? El valor z asociado con X = 18 es z = (18 -20) /5 = -.4, y para X = 26, z = (26 - 20) /5 = 1.2. Así, P(18<X<26) = P(-.4<z<1.2) = .1554 + .3849 = .5403

7-15 EJEMPLO 4 El profesor Mann determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A? Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de manera que P(X > X) = .15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene (X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2

EJEMPLO 4 Z=1.04 15% 0 1 2 3 4 © 2001 Alfaomega Grupo Editor r a l i t - . 4 3 2 1 f ( x r a l i t b u o n : m = , s2 EJEMPLO 4 Z=1.04 15% 0 1 2 3 4 © 2001 Alfaomega Grupo Editor

7-17 EJEMPLO 5 La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante exclusivo tiene una distribución normal con media de $80 y desviación estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal servicio si el total de sus propinas del turno es menor que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya dado un mal servicio? Sea X la cantidad de propina. El valor z asociado con X = 65 es z = (65 - 80) /10 = -1.5. Así P(X<65) = P(z<-1.5) =.5 - .4332 = .0668.