1 AFDAFN AF Gramáticas lineales derecha Expresiones regulares Tema 2 Método de los AF Método de las derivadas Sistemas de Ecuaciones Tema 1

2 Expresiones regulares Una expresión regular se define inductivamente como:  denota el lenguaje vacío. denota { }.  a  , a denota {a}. Si r y s son expresiones regulares que denotan L r y L s : – (r) denota también L r. – r + s denota L r  L s. – r s denota L r L s. – (r)* denota (L r )*. Solo son E. R. las definidas de esa manera. ( ) * Prioridad de operadores Concatenación Unión

3 Propiedades de equivalencia ( , ,  son E.R.) 1.  + (  +  ) = (  +  ) + . 2.  +  =  + . 3.  (  ) = (  ) . 4.  (  +  ) =   +   ; (  +  )  =   +  . 5.  =  = . 6.  +  =  +  = . 7. * = 8.  =  = .9.  * =. 10.  * = +   *. 11. (  * +  *)* = (  *  *)* = (  +  )*. 12. (  )*  =  (   )*. 13. (  *  )*  * = (  +  )*. 14. (  *  )* = (  +  )*  +.

4 Equivalencia entre A.F. y E.R. q0q0 q0q0 q1q1 q0q0  {a}{a} a q0q0 q fA A q0q0 q fB B qfqf q0q0 q0q0 q fA A q0q0 B qfqf Unión Concatenación AF a partir de expresiones regulares

5 qAqA q fA A qfqf q0q0 Clausura AFD a partir de expresiones regulares: Mét. de derivadas D x (r) = x -1 r = {y   *  xy  L(r)} Dados: r E. R., x   *

6 Reglas del cálculo de Derivadas a) Respecto a símbolos (a, b  , r, s E.R.) : 1. a -1  = . 2. a -1 = . 3. a -1 a = ; a -1 b =  si a  b. 4. a -1 (r + s ) = a -1 r + a -1 s. - ( a -1 r )s si  r 5. a -1 (r s ) = - ( a -1 r )s + a -1 s si  r 6. a -1 r* = (a -1 r ) r* b) Respecto a cadenas (a  , x   *) : r = r. 2. (xa) -1 r = a -1 (x -1 r).

7 Obtención de autómatas a partir de E. regulares Entrada: Expresión regular r Salida: AFD A equivalente a r. Método: Calcular {x -1 r  x   * } Definir A = (Q, , , q 0, F) como sigue Q = {x -1 r  x   * }  alfabeto de r  (x -1 r, a) = (xa) -1 r q 0 = -1 r = r x -1 r  F   x -1 r Un autómata A es equivalente a una expresión regular r sii L(A) = L(r)

8 Sistemas (lineales) de ecuaciones en expresiones regulares X = rX + s con r, s, X expresiones regulares Solución (lema de Arden) X = r* s es solución. Es única si  r a) r* s es solución rX + s = r r* s + s = (r r* + ) s = r* s (p.10) b) Si  r  X = r* (s + t),  t   *. rX + s = r r* (s + t) + s = r r* s + r r* t + s = (r r* + ) s + r r* t = r* s + r* t = r* (s + t) Como  r, r r* = r*

9 Sistema de ecuaciones lineales en e.r.: X 1 = r 11 X 1 + r 12 X r 1n X n + s 1 X 2 = r 21 X 1 + r 22 X r 2n X n + s X n = r n1 X 1 + r n2 X r nn X n + s n Método de Gauss aplicando lema de Arden para reducir Solución Aplicación: - Autómatas s. de ecuaciones e. regular -Gramáticas

10 Entrada: A = (Q, , , q 1, F); Q = {q 1, q 2,..., q n } Salida: Sistema de ecuaciones con X 1 = L(A) Método: Por cada q i introducir variable X i Si q i  F entonces X i =....+ Si q j   (q i, a) entonces X i =....+ a X j (siendo a    { }) Sistemas de ecuaciones a partir de autómatas q2q2 q1q1 Ejemplo X 1 = 0 X X 2 X 2 = 1 X X 2 +

11 Entrada: G = (N, , P, S); Salida: Sistema de ecuaciones con S = L(G) Método: Por cada A  N introducir variable A. Si A  a  P, a    { } entonces A =....+ a Si A  aB  P, a    { } entonces A =....+ aB Sistemas de ecuaciones a partir de gramáticas l. d. Ejemplo S = 0 S + 1 A A = 1 S + 0 A 2 + S  0 S | 1 A A  1 S | 0 A 2 |