Capítulo 2 Nivelatorio de Física Vectores Capítulo 2 Nivelatorio de Física

Contenido Tipos de cantidades Sistema de coordenadas Representación gráfica de un vector Multiplicación de un vector por un escalar Suma algebraica de vectores Vectores unitarios Cosenos directores Producto escalar Producto vectorial

Cantidades escalares y vectoriales Tipos de cantidades físicas

Análisis: 1 2 Analice las imágenes mostradas e identifique que tipo de variables físicas encontramos en: Cubeta con agua. Patear un balón.

Tipos de cantidades Escalares Vectoriales Solo necesitan especificar magnitud. Necesitan magnitud y dirección. Para representar un vector se escribe una letra MAYUSCULA que lleve una flecha encima: 𝑨

Retroalimentación Indicar si los siguientes casos definen variables físicas escalares o vectoriales. Duración de una canción. Empujar una caja desde una posición inicial hasta una final. Contenido de agua en un vaso. Levantar del suelo una pesa en el gimnasio. Golpear un balón de tenis con la raqueta. R/. Escalares: a, c. Vectoriales: b, d, e.

Sistema de coordenadas Para definir la dirección de un vector, se necesita un sistema de coordenadas.

Representación gráfica de vectores Polar: Define la magnitud del vector y su ángulo respecto al eje positivo de las abscisas (ángulo referencial). Se expresa como: 𝐴 = 𝑟,𝜃 . Donde 𝑟 es la magnitud del vector, y 𝜃 el ángulo que da la dirección.

Representación gráfica de vectores Geográfica: Se representa especificando la dirección con los puntos cardinales Norte (N), Sur(S), Este(E), Oeste(O). 𝐴 = 𝑟,𝑁30°𝐸 r 30°

Retroalimentación Grafique el vector: 𝑨 = 𝒓,𝟒𝟓° 𝒖 𝑩 = 𝒓,𝟏𝟐𝟎° [𝒖] 𝑨 = 𝒓,𝟒𝟓° 𝒖 𝑩 = 𝒓,𝟏𝟐𝟎° [𝒖] 𝑪 = 𝒓,𝟑𝟎° [𝒖] 𝑫 = 𝒓,𝟑𝟐𝟎° [𝒖] 𝑬 = 𝒓,𝟑𝟓𝟎° [𝒖]

Multiplicación por un escalar Cambios en magnitud y en dirección según el caso

Multiplicación de vector por un escalar Sea un escalar “a” donde 𝑎∈ℝ, al multiplicarlo por un vector 𝐴 se pueden tener los siguientes casos: 𝑨 1. Cuando a≥+1: el vector aumenta su magnitud en proporción a “a” y no cambia su dirección. Si a=1 Si a=2 (1) 𝑨 2 𝑨

Multiplicación de un vector por un escalar 2. Cuando a ≤ -1: el vector aumenta su magnitud en proporción al valor absoluto de “a” y su dirección cambia 180°. Si a=-1 − 𝑨 𝑨 Si a=-3 −3 𝑨

Multiplicación de un vector por un escalar 3. Cuando 0<|a|<1: el vector disminuye su magnitud en proporción al valor absoluto de “a”. Dependiendo del signo de “a”: si es negativo cambia dirección 180° ; Si es positivo no cambia su dirección. Si a=0,5 (0,5) 𝑨 𝑨 Si a=-0,5 (−0,5) 𝑨

Multiplicación de un vector por un escalar 4. Cuando a =0: el vector se transforma en el vector cero ( 0 ). El vector cero 0 es representado por un punto en el espacio.

Retroalimentación Sea el vector 𝐴 = 𝑟,45° 𝑢 determine: 2 𝐴 - 𝐴 − 1 2 𝐴

Multiplicación de un vector por un escalar RECORDAR: Un vector representa una variable física que necesita una dirección específica en un sistema de referencia, además de una magnitud. Al representar una variable física, un vector al ser multiplicado por un escalar no necesariamente seguirá representando a dicha variable física.

Suma Algebraica de vectores Método gráfico: Polígono y paralelogramo.

Suma algebraica de vectores Así como las cantidades escalares se puede sumar y restar entre si, los vectores también pueden realizar estas operaciones. Para la suma algebraica de vectores tenemos los siguientes métodos: Suma algebraica de vectores Gráfico Polígono Paralelogramo Analítico

M. Gráfico: Polígono El método del polígono se basa en la concatenación (es decir, en unión en secuencia) de los vectores que intervienen en la suma algebraica. PASOS: Se identifica la expresión de suma algebraica a realizar. Utilizando el centro de coordenadas (0,0) se grafica el primer vector requerido en la suma algebraica. Al terminar el vector, si aún hay vectores por graficar, se coloca un eje coordenado al final del último vector graficado. En el eje coordenado, se debe graficar el siguiente vector. Repita los pasos hasta terminar con toda la expresión algebraica. Al final, el vector resultado 𝑅 será el vector que parte del eje coordenado (0,0) hasta la punta del último vector graficado.

M. Gráfico: Polígono 𝐴 = 𝑟 𝐴 , 𝛼 𝐵 = 𝑟 𝐵 , 𝛽 𝐶 = 𝑟 𝐶 , 𝛾 Sea: 𝑨 𝑩 𝐴 = 𝑟 𝐴 , 𝛼 𝐵 = 𝑟 𝐵 , 𝛽 𝐶 = 𝑟 𝐶 , 𝛾 Determine 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪

M. Gráfico: Polígono NOTA: Para mejor comprensión del tema, realice la animación de la diapositiva paso a paso 𝑹

M. Gráfico: Polígono RECUERDE: Si en la expresión algebraica existieran vectores multiplicados por un escalar (cualquiera de los casos presentados anteriormente), es recomendable primero realizar a parte la operación de multiplicación por escalar.

M. Gráfico: Polígono 𝐴 = 𝑟 𝐴 , 𝛼 𝐵 = 𝑟 𝐵 , 𝛽 Sea: 𝐀 Determine 𝐴 = 𝑟 𝐴 , 𝛼 𝐵 = 𝑟 𝐵 , 𝛽 Determine 𝑹 =𝟐 𝑨 −𝟑 𝑩 𝐀 𝐁

M. Gráfico: Polígono Como el escalar es (+2), 𝐴 aumenta su magnitud al doble, pero su dirección no cambia. Se trata de determinar 𝑹 =𝟐 𝑨 −𝟑 𝑩 Como vector A se encuentra multiplicado por el escalar 2, y el vector B por el escalar (-3) es recomendable primero graficar dichas multiplicaciones por el escalar. 𝟐 𝐀 −𝟑 𝐁 Como el escalar es (-3), 𝐵 aumenta su magnitud al triple y su dirección cambia en 180° (es decir, va en sentido contrario)

M. Gráfico: Polígono Al tener ya los vectores: 𝟐 𝑨 𝒚 −𝟑 𝑩 𝟐 𝑨 𝒚 −𝟑 𝑩 Se tienen listos los vectores para la suma algebraica. 𝟐 𝐀 −𝟑 𝐁

M. Gráfico: Polígono −𝟑 𝐁 𝟐 𝐀 𝑹 Recuerde: Se grafican los vectores de forma concatenada. Una vez se termina de graficar un vector se continua con el siguiente. Al final, el vector Resultado 𝑅 es la unión del punto (0,0) y la punta del último vector en la cadena. −𝟑 𝐁 𝟐 𝐀 𝑹

Retroalimentación 3 Usando una hoja milimetrada, encuentre por el método del polígono: 𝑹 = 𝟏 𝟐 𝑨 +𝟐 𝑩 −𝟒 𝑪 Siendo: 𝐴 = 4 , 0 ° 𝐵 = 5 , 135 ° 𝐶 = 1, 60 °

M. Gráfico: Paralelogramo El método del paralelogramo se basa en formar una figura geométrica de lados paralelos de igual longitud entre ellos. Los lados verdes son de igual magnitud (tamaño) y son paralelos entre si. Lo mismo con los violeta.

M. Gráfico: Paralelogramo Para sumar vectores por el método del paralelogramo, solo debemos realizarlo usando un par de vectores a la vez (ya que el paralelogramo usa 4 lados). Cada vector representará un lado del paralelogramo, mientras el otro lado paralelo es una copia exacta del vector.

M. Gráfico: Paralelogramo Sea: 𝐴 = 𝑟 𝐴 , 𝛼 𝐵 = 𝑟 𝐵 , 𝛽 Determine 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 𝑨 𝑩

M. Gráfico: Paralelogramo Graficamos el par de vectores en plano cartesiano. Procedemos a graficar los vectores. Se proyecta un vector de manera paralela sobre el otro vector, hasta llegar al extremo de la flecha. Se proyecta el vector faltante para cerrar el paralelogramo. El vector resultante R será el vector desde el centro de coordenadas (0,0) hasta la unión de las dos puntas de los vectores sumados. 𝑹 𝑨 𝑩

M. Gráfico: Paralelogramo Nota: Realice la animación paso a paso. M. Gráfico: Paralelogramo Si tenemos una suma de más de dos vectores: Se genera un paralelogramo para un par de vectores y se obtiene una resultante parcial 𝑅 ′ . Utilizando el siguiente vector, se debe realizar un paralelogramo con el resultante parcial 𝑅 ′ . Se continua mientras se tengan vectores faltantes para sumar. El último vector parcial, es el RESULTADO FINAL. 𝑅′ 𝑅

Retroalimentación Realice el método del paralelogramo entre: 𝐴 = 2, 45° 𝑢 𝐵 = 1, 90° 𝑢 𝐶 = 2, 270° 𝑢 Para 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑹 ′ Encontramos el resultado parcial 𝑹 ′

Retroalimentación Realice el método del paralelogramo entre: 𝐴 = 2, 45° 𝑢 𝐵 = 1, 90° 𝑢 𝐶 = 2, 270° 𝑢 Para 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 Usando el resultado parcial 𝑹 ′ , realizamos el siguiente paralelogramo, su resultado al no tener mas vectores que sumar, se tiene el resultado final 𝑹

Retroalimentación Recuerde: Si se tienen vectores multiplicados por un escalar, se debe realizar primero dicha multiplicación. Si esta multiplicado por un valor negativo, debe primero realizar el cambio orientación.

Fin parte 1