The volume (V) flow rate (dV/dt) of fluid through the wire rectangle (a) is vA when the area of the rectangle is perpendicular to the velocity vector v and (b) is vA cos  when the rectangle is tilted at an angle . Flujo (caudal) de fluido a través del área A

n u V Conservación de Masa razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V

n u V Conservación de Masa razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V Flujo de masa que sale del volumen a través de la superficie

n u V Conservación de Masa razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V Flujo de masa que sale del volumen a través de la superficie Conservación de masa 

n u V Conservación de Masa razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V Flujo de masa que sale del volumen a través de la superficie Conservación de masa  Teorema de Gauss 

n u V Conservación de Masa razón de cambio de la masa contenida dentro del volumen V Flujo de masa que sale del volumen a través de la superficie Conservación de masa  Teorema de Gauss  Por lo tanto, 

Notación: vectores (y tensores) se denotan con índices libres convención de “índices repetidos” Así, la ecuación se puede escribir también como

Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido Para un fluido en reposo: presión hidrostática fuerza sobre un elemento de área cualquiera

Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido Para un fluido en reposo: presión hidrostática Para un fluido en movimiento: tensor de esfuerzos fuerza sobre un elemento de área cualquiera

Fuerzas (de superficie) sobre un elemento fluido Para un fluido en reposo: presión hidrostática Para un fluido en movimiento: tensor de esfuerzos fuerza sobre un elemento de área cualquiera

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton:

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton: razón de cambio del momentum para la partículas que forman el volumen V(t)

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton: razón de cambio del momentum para la partículas que forman el volumen V(t) Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t)

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton: razón de cambio del momentum para la partículas que forman el volumen V(t) Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t) Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t)

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton: razón de cambio del momentum para la partículas que forman el volumen V(t) Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t) Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t) Conservación de momentum  (teorema de Gauss)

n u V(t)V(t) Conservación de Momentum Ley de Newton: razón de cambio del momentum para la partículas que forman el volumen V(t) Fuerzas que actúan sobre la superficie de V(t) Fuerzas que actúan sobre la masa contenida en V(t) Conservación de momentum  (teorema de Gauss)

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral)

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral) Generalización a 3D, para un volumen material: V(t)V(t)

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral) Generalización a 3D, para un volumen material: V(t)V(t)

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral) Generalización a 3D, para un volumen material: La ecuación de conservación de momentum nos queda como V(t)V(t)

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral) Generalización a 3D, para un volumen material: V(t)V(t) La ecuación de conservación de momentum nos queda como por lo tanto,

conservación de masa: conservación de momentum: Para  ij se necesita un modelo constitutivo: = + (i) (esfuerzo total) (presión estática) (esfuerzo viscoso)

(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso  ij : Ley de viscosidad de Newton

En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad: (tensor gradiente de velocidad)

(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso  ij : Ley de viscosidad de Newton En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad: (tensor gradiente de velocidad) La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es: (tensor de deformación)

(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso  ij : Ley de viscosidad de Newton En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad: (tensor gradiente de velocidad) La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es: (tensor de deformación) La ley de viscosidad de Newton se puede generalizar postulando una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación:

(ii) Motivación para el esfuerzo viscoso  ij : Ley de viscosidad de Newton En un caso tridimensional el esfuerzo viscoso debería estar relacionado con todos los gradientes de velocidad: (tensor gradiente de velocidad) La parte de este tensor que representa deformación de un elemento fluido es: (tensor de deformación) La ley de viscosidad de Newton se puede generalizar postulando una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación: Aplicando consideraciones de isotropía y simetría a C ijkl se obtiene: Fluido Newtoniano

El sistema de ecuaciones diferenciales parciales queda como: conservación de masa: conservación de momentum: (Ecuación de Navier-Stokes) Estas ecuaciones gobiernan la dinámica de los fluidos, en la inmensa mayoría de los casos (fluidos Newtonianos). Para una solución deben ser suplementadas con:  una ecuación de estado que relacione  con p.  condiciones de contorno  condiciones iniciales En muchas situaciones se puede introducir la simplificación de flujo incompresible: la densidad no depende de la presión.

Para flujo incompresible: conservación de masa: conservación de momentum: (Ecuación de Navier-Stokes) Estas ecuaciones se deben resolver para las variables: En notación vectorial:

La regla de Leibniz (derivación bajo el signo integral) Generalización a 3D, para un volumen material: V(t)V(t) La ecuación de conservación del escalar  es: por lo tanto,