Tema 2: Triángulos CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DESIGUALDADES EN TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EL TRIÁNGULO DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados. A  Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo. 2p= a+b+c NOTACIÓN: ΔABC c b   B a C A, B, C Vértices del ΔABC lados del ΔABC a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente.

EL TRIÁNGULO DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados. A  Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo. 2p= a+b+c  NOTACIÓN: ΔABC c b  γ   B a C Semi-perímetro: A, B, C Vértices del ΔABC lados del ΔABC a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente. , , γ son las medidas de los ángulos interiores correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente.

ÁNGULO EXTERIOR A UN TRIÁNGULO Todo ángulo que sea adyacente a un ángulo interior del triángulo. A D B C DBA es exterior al ABC por ser adyacente al ángulo interior (ABC)

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

ELEMENTOS DE UN TRIANGULO MEDIANA: es el segmento que parte desde un vértice al punto medio del lado opuesto. A c ma L N  mb b  G  mc  B a M C Todo triángulo tiene tres medianas : ma, mb y mc asociadas a los lados , respectivamente. Baricentro: Punto de intersección de las medianas. Notación: G

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices BISECTRIZ interior: Es el segmento de bisectriz cuyo origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. A   I  B  C Todo triángulo tiene tres bisectrices , y asociadas a los ángulos correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente : Incentro: Punto de intersección de las bisectrices Notación: I

ALTURA: Es el segmento que va desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto o a su prolongación. En el caso de un triángulo obtusángulo A A  ha hb C     B H hc  hb hc ha B  C  H Ortocentro: Punto de intersección de las alturas o de sus prolongaciones La altura de ha y hc son los segmentos perpendiculares a la prolongación de los lados opuestos y que parten desde los vértices A y C Notación: H

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice que los triángulos son CONGRUENTES. Esto es: y A A’    ’  ’ B C B’ C’

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice que los triángulos son CONGRUENTES. Esto es:  ABC   A’B’C’ y A A’ ’   ’  ’ B C B’ C’

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL) El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados. Ejemplo: A A’  ’ B C B’ C’

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL) El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados. Ejemplo:  ABC   A’B’C’ A A’  ’ B C B’ C’

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.) El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes. Ejemplo: A A’  ’  ’ B C B’ C’

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.) El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes. Ejemplo:  ABC   A’B’C’ A A’  ’  ’ B C B’ C’

TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes. Hipótesis: ΔABC es Isósceles. C Tesis:  =   A B W Proposiciones Justificaciones ΔABC es Isósceles Hipótesis CB AC @ 2. Definición de Δ Isósceles 3. es bisectriz de C Por construcción 4.  ACW  BCW Definición de bisectriz es común para los s ACW y BCW Propiedad reflexiva

TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes. Hipótesis: ΔABC es Isósceles. C Tesis:  =     A B W Proposiciones Justificaciones Δ CWA  Δ CWB Por criterio de congruencia de triángulos L.A.L (2, 5 y 4) 7.  =  Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes La tesis es verdadera Luego, el teorema directo es verdadero

Luego, el teorema recíproco es verdadero Hipótesis:  =  Tesis: ΔABC es Isósceles   A B Proposiciones Justificaciones 1.  =  Hipótesis 2. es el lado común para ΔCAB y ΔCBA Propiedad reflexiva 3. Δ CAB  Δ CBA Por criterio de congruencia de triángulos A.L.A 4. Por ser lados correspondientes en la congruencia anterior ΔABC es Isósceles Por 4, aplicando definición de Δ Isósceles La tesis es verdadera Luego, el teorema recíproco es verdadero En conclusión el Teorema: Un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes, es verdadero.

  =  =  COROLARIO: Un Δ ABC es equilátero C    B A

TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden. A Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de Tesis: ha=ma=wa    B M C Proposiciones Justificaciones 1. Δ ABC es Isósceles Hipótesis 2. AB=AC Por definición de Δ Isósceles en 1 3. Teorema: En un Δ Isósceles los s de la base son congruentes 4. es mediana Por construcción 5. M es punto medio de Por definición de mediana en 3

TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden. A Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de Tesis: ha=ma=wa    B M C Proposiciones Justificaciones 6. BM=MC Por definición de punto medio 7. es lado común para el Δ ABM y Δ ACM 8. Δ ABM  ΔACM Por criterio de congruencia L.A.L en 2, 3 y 6 9.  BAM   CAM Por ser s correspondientes en s congruentes

TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden. A Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de Tesis: ha=ma=wa    B M C Proposiciones Justificaciones 10. es bisectriz Por definición de bisectriz en 9 11.  BMA   CMA Por ser s correspondientes en s congruentes en 8 12. mBMC =180 Por definición de  llano. 13. mBMC=m BMA +m AMC Axioma: Suma de ángulos 14. m BMA +m AMC =180 Igualando 12 y 13 15. m BMA +m BMA =180 Sustitución de 11 en 14

TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden. A Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de Tesis: ha=ma=wa    B M C Proposiciones Justificaciones 16. m BMA =180/2=90 Reducción de términos semejantes y despeje 16. Por definición de rectas perpendiculares 17. es altura Por definición de altura. Luego, es mediana, bisectriz y altura es decir: ha=ma=wa La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: En un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden, es verdadero

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.) El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes. Esto es: A A’ B C B’ C’

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.) El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes. Esto es:  ABC   A’B’C’ A A’ B C B’ C’

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

 y  corresponden a dos de los  s interiores del ΔABC TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180. A Hipótesis  y  corresponden a dos de los s interiores del ΔABC   C B  M Tesis  +  < 180  D Proposiciones Justificaciones  y  corresponden a dos de los  s interiores del ΔABC Por Hipótesis M es punto medio de Por construcción CM = MB Por definición de punto medio es mediana Por definición de mediana D  , tal que AM=MD Por construcción

TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180. Hipótesis  y  corresponden a dos de los s interiores del ΔABC   C B  M Tesis  +  < 180  D Proposiciones Justificaciones 6. AMC  BMD Por s opuestos por el vértice 7. ΔAMC  ΔDMB Por criterio de congruencia de triángulos L.A.L. ( 3,5 y 6) 8.  = m MBD Por ser s correspondientes en la congruencia de Δs en 7 9.  + m <MBD < 180 Ya que D  10.  +  < 180 Sustitución de 8 en 9 La tesis es verdadera Luego, el Teorema: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180, es verdadero

  COROLARIO: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos A C B 90  C B Proposiciones Justificaciones 1.  + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menor que 180 2.  < 180 – 90 Despejando  3.  < 90 Reducción de términos semejantes 4.  + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menos que 180 5.  < 180 – 90 Despejando  6.  < 90 Reducción de términos semejantes La tesis es verdadera Luego, el Corolario: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos, es verdadero

TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él. A C B Hipótesis  ,  y  corresponden a los ángulos interiores del ΔABC  ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida  y  Tesis 1. >  2. > α    Proposiciones Justificaciones 1.-  ,  y  corresponden a los ángulos interiores del ΔABC Por Hipótesis 2.-  es la medida del ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida  y  Por Hipótesis 3.  +  < 180 Por teorema: la suma de dos s interiores en un Δ es menor que 180 4.  +  = 180 Teorema: los ángulos adyacentes son suplementarios

TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él. A C B Hipótesis -  ,  y  corresponden a los ángulos interiores del ΔABC -  ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida  y  Tesis 1. > 2. > α    Proposiciones Justificaciones 5.  = 180 -  Despejando 6. α + 180 -  < 180 Sustitución de 5 en 3 7. α <  Reducción de términos semejantes y despeje de α La tesis 1 es verdadera La tesis 2 se encuentra de forma idéntica a la primera y también es verdadera Luego, el Teorema: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él, es verdadero

TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente. () Hipótesis AB > AC en el ΔABC D  Tesis γ >   B C Proposiciones Justificaciones 1. AB > AC Hipótesis 2. D  , tal que AD=AC Por construcción 3. ΔACD es Isósceles Por definición de Δ Isósceles 4.- m ADC >  Por ser el ADC exterior al ΔDBC y no adyacente con él.

TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente. () Hipótesis AB > AC en el ΔABC D  Tesis γ >   B C Proposiciones Justificaciones 5.- m ADC = m ACD Por ser s de la base del Δ Isósceles 6.- m ACB = m ACD + m DCB Axioma Suma de ángulos 7.- m ACB = m ADC + m DCB Sustituyendo 5 en 6 8.- m ACB > m ADC Propiedad el todo es mayor que las partes

TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente. () Hipótesis AB > AC en el ΔABC D  Tesis γ >  γ  B C Proposiciones Justificaciones 9.- m ACB >  Por transitividad en 4 y 8 10.-  >  m ACB =  La tesis es verdadera Luego, el Teorema directo es verdadero

γ  A () Hipótesis  >  en el ΔABC Tesis AB > AC B C Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades: Caso 1: AB = AC Proposiciones Justificaciones 1. ABC es Isósceles Por definición de  Isósceles (Ya que tiene dos lados iguales) 2.  =  Por teorema: los ángulos de la base de un Isósceles son congruentes, lo cual contradice la hipótesis  >  Luego, AB  AC

B C A () Hipótesis  >  en el ΔABC γ Tesis AB > AC  Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades: Caso 2: AB < AC Proposiciones Justificaciones  <  Por el teorema directo, lo cual contradice la hipótesis  > . Luego, AB ≮ AC Si AB  AC y AB ≮ AC, entonces AB > AC y la proposición recíproca es verdadera En conclusión el Teorema: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente, es Verdadero.

COROLARIO: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos. Hipótesis El ΔABC es rectángulo El c es hipotenusa a y b son catetos B  c Tesis 1.- c>b 2.- c>a a   A C b Proposiciones Justificaciones 1.    En un triángulo rectángulo el ángulo mayor es el ángulo recto    2. c  a y c  b A mayor ángulo se opone mayor lado La tesis es verdadera En conclusión, el Corolario: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos, es Verdadero

Hipótesis Tesis La tesis 1 es Verdadera TEOREMA: Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. Hipótesis a, b, c son lados del  ABC A Tesis 1. a + b > c 2. b + c > a 3. a + c > b θ c  b θ  B a C b D Proposiciones Justificaciones 1. Se prolonga hasta D una Por construcción cantidad b 2. ACD es Isósceles Definición de Δ Isósceles en 1: (AC=CD) 3. mBAD =  + θ Axioma: Suma de ángulos 4. mBAD > θ El todo es mayor que las partes 5. a + b > c Teorema: A mayor ángulo, mayor lado La tesis 1 es Verdadera Las tesis 2 y 3 también son verdaderas se encuentran prolongando respectivamente En conclusión, el Teorema:Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, es Verdadero

Despejando del resultado del teorema anterior COROLARIO: Todo lado de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos. Despejando del resultado del teorema anterior 1. a + b > c  a > c - b 2. b + c > a  b > a - c 3.- c + a > b  c > b – a

COROLARIO: En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es mayor que la hipotenusa. B c a A C b a + b > c ya que todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes. Ejemplo: (ac), a = a’ , c = c’ y  = ’ A A’   c c’ B a C B’ a’ C’

CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes. Ejemplo: (ac), a = a’ , c = c’ y  = ’  ΔABC  ΔA’B’C’ A A’   c c’ B a C B’ a’ C’

TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l. Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P es un Pto y l es una recta Existen dos posibilidades Caso 1: P l P l  Caso 2: P l P  l

Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l. Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l Existen dos posibilidades Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene: y  Caso 1: P l  X Supongamos que existen 2 rectas s a l 90 Entonces <MPX  <MPY = 90 P 90 l Esto contradice el Axioma de la Construcción de un Ángulo, ya que a partir de una semirrecta dada en uno de sus semiplanos, sólo se puede construir un ángulo de medida 90.   M Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P  l

Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l. Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l Existen dos posibilidades Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene: Caso 2: P l P  Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P 90 90 l   A B

Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P  l TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l. Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l Existen dos posibilidades Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene: Caso 2: P l P  Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P Entonces mPAB = 90 y mPBA= 90 90 90 l   Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180. A B Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P  l

Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P  l TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l. Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l Hipótesis P y l Existen dos posibilidades Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene: Caso 2: P l P  Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P Entonces mPAB = 90 y mPBA= 90 90 90 l   Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180. A B Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P  l En conclusión, el Teorema: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l, es Verdadero

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Definición: Es la longitud del segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta. Siempre a < b ya que b es la hipotenusa y a mayor ángulo se opone mayor lado. P  b a l