31 Olimpiada Matemática Thales Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 S.A.E.M THALES 1

31 Olimpiada Matemática Thales Reparto a todo tren S.A.E.M THALES Fase Regional: Huelva del 12-16 de mayo de 2015 2 2

Solución Menú Problema nº 2: REPARTO A TODO TREN Giuseppe Peanín, que es el repartidor de la pizzería matelandesa, tiene que entregar un pedido en una casa en el mínimo tiempo posible. Armado de paciencia, ha estudiado minuciosamente los semáforos del barrio y ha descubierto algunas cosas. Los semáforos sólo tienen dos colores: rojo (no se puede pasar) y verde (sí se puede pasar) que se alternan cada dos minutos (dos minutos rojo, dos minutos verde, dos minutos rojo…). Giuseppe tarda 2 minutos y 5 segundos en ir de un semáforo al siguiente. Si en el momento que sale de cualquiera de las dos salidas del aparcamiento, la disposición de los semáforos se acaba de cambiar a la que se indica en el dibujo, ¿cuál es la ruta más rápida para entregar la comida? Explica razonadamente tu respuesta. Solución Menú 3

Solución: Enunciado Menú Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este. Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos manzanas para evitar semáforos rojos. Por ejemplo, si el motorista está situado donde se indica en el dibujo, podría dar la vuelta a la manzana para evitar el semáforo R del camino azul. Sin dar la vuelta tarda de un semáforo a otro 2 min 5 s, y esperando al verde 2 min como máximo. En total: 2 (2 m 5 s) + 2 min = 6 min 10 s. Realmente solamente tendría que esperar 1 m 55 s en el semáforo R. Dando la vuelta, y suponiendo que no se tiene que parar, tarda como mínimo: 4 · (2 m 5 s) = 8 m 20 s Enunciado Menú 4 4

Solución: Enunciado Menú Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este. Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos manzanas para evitar semáforos rojos. Si le da la vuelta a dos manzanas, para evitar dos semáforos R, seguiría siendo más rápido por más de 10 s. Sin dar la vuelta tarda como máximo: 3 · (2 m 5 s) + 2 · (2 min) = 10 min 15 s. Dando la vuelta sin pararse tarda: 5 · (2 m 5 s) = 10 m 25 s Dar la vuelta a tres manzanas implicaría en algún momento dar marchar atrás. Enunciado Menú 5 5

Solución: Enunciado Menú Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E. Así pasaremos por 5 semáforos. En segundo lugar, observemos qué ocurre cuando sale de un semáforo donde se ha parado. Por ejemplo, en el que se indica en la figura. Si el siguiente semáforo también tiene el mismo color. Cuando los dos semáforos se cambien a V, el motorista arrancará pero no llegará al 2º semáforo hasta que se cambie otra vez. Se tendrá que volver a parar 1 min 55 s. 1º 2º 3º 4º 5º Sin embargo si el 2º semáforo tiene distinto color, llegará cuando este en V. Justamente pasará a los 5 segundos de haberse puesto en V. Enunciado Menú 6

Solución: Enunciado Menú Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E. Así pasaremos por 5 semáforos. Con el siguiente semáforo ocurriría lo mismo. Si no se ha parado y el color es distinto del 2º, lo pasará cuando este tercer semáforo lleve 10 s en V. Si es del mismo color, se tendría que detener 1 min 50 s. 1º 2º 3º 4º 5º Si no se para y el 4º semáforo es de distinto color que el 3º, lo pasará a los 15 s de ponerse V. Si son del mismo color, se parará 1 min 45 s. Y con el quinto pasaría lo mismo. Deducimos… Enunciado Menú 7 7

Solución: Enunciado Menú El camino más rápido debe tener el mayor número posible de semáforos consecutivos con distinto color y siempre hacia el N o el E. Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que esperar en el siguiente semáforo R. 1º 2º 3º 4º 5º Utilicemos el diagrama de árbol para buscar el trayecto con menos semáforos consecutivos del mismo color, distinguiendo si en cada cruce nos vamos hacía el N o hacía el E. Tomaremos el primer cruce hacia el N, en caso contrario el motorista se detendría en el primer semáforo. Enunciado Menú 8 8

Nº de semáforos consecutivos de igual color Solución: El camino más rápido debe tener el mayor número posible de semáforos consecutivos con distinto color y siempre hacía el N o el E. Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que esperar en el siguiente semáforo R. Pizzería Salida Norte R V 1 2 3 4 Nº de semáforos consecutivos de igual color Salida Este 1º 2º 3º 4º 5º 1º 2º 3º 4º 5º Enunciado Menú 9 9

Nº de semáforos consecutivos de igual color Solución: En los tres primeros recorridos, solamente se tiene que parar una vez, pero en el que más tarde se para, es en el tercero. Pizzería Salida Norte R V 1 2 3 4 Nº de semáforos consecutivos de igual color Salida Este 1º 2º 3º 4º 5º 1º 2º 3º 4º 5º Enunciado Menú 10 10

EL TRAYECTO MÁS RÁPIDO ES EL SEÑALADO EN EL PLANO Solución: EL TRAYECTO MÁS RÁPIDO ES EL SEÑALADO EN EL PLANO HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de encontrarla? Y ¿qué pasaría si el motorista no sale a la misma vez que se cambian los semáforos? Enunciado Menú 11 11