Tema 7. RECTA . X l1 d1 P1 l2 d2 l‘ l P2 Y l2 l1 1 2 1 2 Y X C B A ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS x O P (+,+) P (+,-) I cuadrante P(-,+) P(-,-) Y(+) Ordenadas Y(-) Ordenadas X(+) Abscisas X(-) Abscisas II cuadrante III cuadrante IV cuadrante 1 P2 (2,2) -1 -2 P1 (-2,1) SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL P(x,y) 2 y Tema 7. RECTA . b tg  = m P(0,b) ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN X BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DE DOS RECTAS l1 d1 P1 l2 d2 l‘ l P2 Y

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANÁLITICA Segmento Rectilíneo: La porción de una recta comprendida entre 2 puntos se llama segmento rectilíneo o segmento de extremos A y B A B Notación AB (+) A B Notación BA (-) La longitud del segmento AB se representa por AB En el segmento AB (+), A es el origen y B es extremo o punto final. Decimos que el segmento AB está dirigido de A a B, el mismo segmento pero con origen B y extremo A, está dirigido de B a A. Aún cuando las longitudes son iguales, se dice en geometría analítica, las mismas difieren en signo. .

SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL Teorema: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y sentido, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo. Características: Existe una relación Biunívoca (a cada punto de la recta le corresponde un único número real y viceversa). Densidad: -  x1 x2 +  P1 0 P2 d(P1 a P2)= = (x2 – x1) Coordenada de la derecha menos coord. de la izquierda .

II cuadrante I cuadrante Y(+) Ordenadas P(-,+) P2 (1,3) P2 (-2,2) 3 SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL II cuadrante I cuadrante Y(+) Ordenadas P(-,+) P2 (1,3) P2 (-2,2) 3 P (+,+) 2 x P y X(-) Abscisas 1 X(+) Abscisas -2 -1 1 III cuadrante IV cuadrante Y(-) Ordenadas P(-,-) P (+,-) P (a,b) Par ordenado, a  x, b  y P(x,y) Ubicación de puntos en el plano cartesiano Forma 1: Se conoce el par ordenado P2 (1,3) y se ubica en el plano. Forma 2: Se conoce la ubicación del punto P y se hallan las coordenadas.

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS Teorema: La distancia d entre dos puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) viene dada por la fórmula: Y(+) y2 y1 P2 d y2 - y1 P1 X (+) x1 x2 x2-x1 Esta fórmula es general para cualquier cuadrante siempre y cuando se tomen en cuenta los signos de las coordenadas

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. Teorema: Si P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) son los extremos de un segmento las coordenadas ( X, Y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón son: Demostración: B2 x2 P. P2 B x y2 por el teorema de Thales P1 y B1 x1 y1 A1 x - x1 A x2- x A2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. Teorema: Si P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) son los extremos de un segmento las coordenadas ( X, Y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón son: Demostración: Luego la coordenada x de P es: r (x2-x)= x-x1 B2 x2 P. P2 rx2 – rx =x - x1  - rx – x = -x1-rx2  B x x (r+1) = x1 + rx2  y2 P1 y B1 De igual manera, se calcula la coordenada de P  x1 y1 A1 x - x1 A x2- x A2

Corolario: Punto medio de un segmento: Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos puntos extremos son ( X1,Y1) y (X2,Y2) son : y Como r = 1

Si  = 90  m= tg  no está definida Ángulo de Inclinación: Es el ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Pendiente m: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta  = Angulo de inclinación 0    180 m = tg  Si 0    90  m es positiva Si  = 90  m= tg  no está definida m (+) Si 90    180  m es negativa m (-) Toda recta perpendicular al eje x no tiene pendiente

· · ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Teorema: Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es: con x1  x2 p2 · y2 y2 - y1 p1 ·  y1 x2 - x1 x1 x2 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS  El ángulo entre l y s es aquel comprendido entre la parte de las rectas con dirección o dirigidas, o sea   

Sus pendientes se llaman pendiente inicial y final m1 y m2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1 Y l2 l1 1 2 C 1 2 X A B 1 y 2 son suplementarios los cuales se miden en sentido antihorario (sentido positivo en trigonometría). La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial l1 y la otra recta final l2. Sus pendientes se llaman pendiente inicial y final m1 y m2.

Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1 Y l2 l1 1 2 C 1 2 X A B Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2. 1. 2= 1 + 1 Por ser 2 exterior al  ABC 1 = 2 - 1 Despejando 1

Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan, C es un punto de intersección, A y B son los puntos de intersección con eje x. El ángulo entre l1 y l2 es 1 Y l2 l1 1 2 C 1 2 X A B Cálculo de los ángulos 1 y 2 a partir de m1 y m2. 2. Aplicando la tg a ambos miembros queda tg 1 = , ya que 3. m1 = tg 1 y m2 = tg 2, entonces queda tg 1= y 2= 180 - 1

Paralelismo: Si dos rectas son paralelas, entonces el ángulo formado por ellas es 0 ó 180.  tg 0 = = 0  m1 – m2 = 0 m1 t m2 s Luego, m1 = m2 La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales. Perpendicularidad: Si dos rectas son perpendiculares, entonces el ángulo formado por ellas es 90. Se usará la fórmula de la siguiente manera: s ctg  = 90 m1 t Como ctg 90 = 0  0= 1+ m1 m2 = 0 m2 Luego, m1 m2 = -1 La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, es que el producto de sus pendientes sea igual a: –1

ECUACIONES DE LA RECTA Definición: Llamaremos línea recta al lugar geométrico de los puntos del plano, tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m, calculada mediante: m = donde x2  x1, es siempre constante. Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada (Ecuación Punto – Pendiente). Despejando, y - y1 = m (x -x1) t . P(x,y) . P1 (x1, y1) s m

Sustituyendo en la ecuación y –y1 = m (x -x1), queda Ejemplo Hallar la recta que tiene m = tg 135 = -1 y pasa por el punto P (4,-1) t s Sustituyendo en la ecuación y –y1 = m (x -x1), queda y – (-1) = -1 (x-4) y + 1 = -x + 4 y + x = 3 . P(0,3) 3 Para graficar la recta se despeja la ecuación: x = -y + 3 cuando y = 0  x = 3 cuando x = 0  y = 3 0 . 3 . P1 (3,0) y + x = 3

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen , o sea, m y b tg  = m . P(0,b) b Sea y - y1 = m (x -x1) la ecuación de la recta Las coordenadas de la ordenada en el origen P son (0,b) Entonces sustituyendo en la ecuación, queda: y - b = m (x - 0)  y = mx + b Si l // eje X, entonces b=0 y la recta es y = mk

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1 (x1,y1) y P2 (x2 , y2) - Dada la ecuación de la recta y - y1 = m (x -x1) - Se calcula m  m = donde: x2  x1 Se sustituye en la ecuación Punto – Pendiente

Ecuación Simétrica de la Recta .P1(0,b) . P2(a,o) Se utilizan los puntos de corte con los ejes P1(0,b) y P2(a,0) Se sustituye en la ecuación dados 2 puntos : y -y1 = (x – x1) Sustituyendo los puntos dados P1 y P2 despejando: La ecuación queda: Teorema: Las rectas cuyas intersecciones con los ejes X y Y son a  0 y b  0 respectivamente, tienen por ecuación

Ecuación general de la Recta Forma General Ax + By + C = 0, donde A ó B  0, pero C puede ser o no igual a: 0 Y Es una recta vertical X Si B  0 y + x + = 0 l Donde m= - , b= - Punto de intersección entre dos rectas l1 y l2: Es el que resulta de la solución del sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA  P(x,y) Y d l X Donde el signo se escoge según: d = Si la recta no pasa por el origen + Si el punto P1 y el origen están en semiplanos distintos de borde la recta. Si el punto P1 y el origen están en el mismo semiplano. Si la recta pasa por el origen + Si el punto está en el semiplano superior - Si el punto está en el semiplano inferior

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Ejercicio Hallar la distancia de la recta 3x – 4y + 12 = 0 al punto (4, -1) Y 3x – 4y + 12 = 0 d X  P(4,-1) Sustituyendo el punto y la recta en la ecuación queda: La distancia es 28/5. El signo negativo significa que el punto y el origen están en el mismo semiplano de borde la recta

Ecuación de las bisectrices de los ángulos de dos rectas Sean l: Ax + By + C = 0 y l’: A'x + B´y + C´ = 0, y las rectas dadas y l1 y l2 las bisectrices de los ángulos entre las dos rectas. Como los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo  las distancias d1 y d2 de los lados l y l´ a P (x,y) son iguales: Y l‘ l2 l P2 d2 d1 d2 P1 d1 l1 X Para l1 : d1, d2 son ( +) ya que P1 y el origen están en semiplanos opuestos de la la recta Bisectriz l1  d1 = d2 Para l2: d1 es (+) y d2 es (-)  d1 = -d2 ,ya que P2 y el origen están en el mismo semiplano con respecto a la Bisectriz l‘.

Ecuación de las bisectrices de los ángulos de dos rectas Sean l: Ax + By + C = 0 y l’: A'x + B´y + C´ = 0, y las rectas dadas y l1 y l2 las bisectrices de los ángulos entre las dos rectas. Como los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo  las distancias d1 y d2 de los lados l y l´ a P (x,y) son iguales: Y l‘ l2 l P2 d2 d1 d2 P1 d1 l1 X = y Si C  0, r es de signo contrario a C. Si C = 0, B  0, r y B tienen el mismo signo Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo Donde el signo del radical r :

Familias De Rectas Definición: La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia de rectas o haz de rectas: y = mx + k 1. Todas las ecuaciones que tengan la misma pendiente, pueden representarse por las ecuación: y = mx + k, Caso 1 m m m

Familias De Rectas 2. Si pasan por un punto (a,b) la familia de rectas será, las rectas que pasan por P cualquiera que sea su pendiente. Entonces, y - y1 = m (x – x1)  y - b = k (x - a) donde k es la pendiente cualquiera que sea su valor. Caso 2  P (x,y)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Este tema fue realizado con apoyo en las siguientes bibliografías: - DURÁN, Darío. 2003. La geometría Euclidiana. Maracaibo: Astro Data. - PETER, B. G.;DARREL, P. (1998). Geometría. (3a ed.). México: Thomson Editores S.A. - HEMMERLING, Ee. (2002). Geometría Elemenyal. (6ª ed). Mexico:Limusa -LOPEZ Nayit. Fundamentos de Geometria Métrica Plana. Maracaibo: LUZ - BOHÓRQUEZ, Hector. Apuntes de Geometria. Material inedito,