Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés Geometría del plano Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

Geometría del plano Conceptos básicos de Geometría Los polígonos Proporcionalidad de segmentos y semejanza El Teorema de Pitágoras La circunferencia Áreas de figuras planas Movimientos en el plano. Mosaicos

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Recordando los elementos básicos de Geometría. Segmentos rectilíneos Ángulos: medida y clasificación Clasificación de ángulos Bisectriz de un ángulo Paralelismo y perpendicularidad. Trazado de paralelas y de perpendiculares Mediatriz de un segmento Proyección ortogonal

1.1.Elementos básicos El término Geometría viene del griego, y significa medida de tierras. Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio. Se llama extensión a la porción de espacio ocupado por un cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión. Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, o otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio.

1.2. Segmentos rectilíneos Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B. A B Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas. A Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la longitud del segmento. u De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales responden a dos sistemas: Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,... Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...

Paralelismo y perpendicularidad Las vías de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran). Los travesaños que las fijan al suelo, dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas ángulos rectos. El cruce de vías nos muestra líneas oblícuas. 90º

Ángulos Ángulos Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice. Ángulo llano=180º Ángulo recto 1 R=90º Ángulo completo=360º NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el sistema centesimal y radianes

Tipos de ángulos Ángulo agudo Menor que un recto Ángulo obtuso Mayor que un recto Ángulo convexo Menor que dos rectos Ángulo cóncavo Mayor que dos rectos Ángulos complementarios (Si suman 90º) Ángulos suplementarios (Si suman 180º) experimenta experimenta

Medida de ángulos 360º 180º 90º 60’ 60” 400g 200g 100g 100m 100s 2  Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal Radianes Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2  /2 experimenta

Trazado de paralelas y perpendiculares Rectas paralelas Rectas perpendiculares

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Dos ángulos de lados paralelos, o son iguales (si los dos agudos, o los dos obtusos), o son suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso)

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Dos ángulos de lados perpendiculares, o son iguales (si los dos son agudos o los dos son obtusos), o son suplementarios (si uno es agudo y el otro es obtuso)

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO C A B Trazamos una recta paralela al lado AB del triángulo Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen obtusos) Los tres ángulos de un triángulo suman siempre 180º experimenta

Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio. Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB. Mediatriz del segmento AB A B d d’ d’’ A B d1 Observa que los puntos de la mediatriz de un segmento AB equidistan de los extremos Á y B experimenta

Bisectriz de un ángulo La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz. d’ Bisectriz d Observa que los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo experimenta

Proyección ortogonal A P Q A’ P’ Q’ La sombra A’ del punto A sobre una recta, a las 12 horas (hora solar), se llama proyección ortogonal de A sobre la recta. Igualmente, la proyección ortogonal del segmento PQ sobre la recta, es el segmento P’Q’.

2. LOS POLÍGONOS Polígonos: Triángulos. Cuadriláteros: Definición. Elementos de un polígono Clasificación de polígonos Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos. Trazado de polígonos regulares. Polígonos regulares estrellados Triángulos. Clasificación de triángulos. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos. Rectas y puntos notables de un triángulo. Cuadriláteros: Clasificación de cuadriláteros. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.

2.1. POLÍGONOS Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada

Elementos de un polígono Lado Diagonal Diagonal Vértice Ángulo interior Ángulo exterior Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados

Clasificación de los polígonos Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,... El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En estos, y sólo en estos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema. Centro Apotema

Suma de los ángulos de un polígono Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Número de diagonales Triángulo 3 1 180º Cuadrilátero 4 2 2 . 180º Pentágono 6 Heptágono Octógono 9 Polígono de n lados n n-2 Que el alumno copie y complete en su cuaderno Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior

Suma de los ángulos interiores Polígono Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Número de diagonales Triángulo 3 1 180º Cuadrilátero 4 2 2 . 180º Pentágono 5 3. 180º Hexágono 6 4. 180º 9 Heptágono 7 5. 180º 14 Octógono 8 6. 180º 20 Eneágono 7. 180º 27 Decágono 10 8. 180º 35 Undecágono 11 9. 180º 44 Dodecágono 12 10. 180º 54 ....... Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2

Construyendo un pentágono regular experimenta

Construyendo un pentágono regular experimenta

Construyendo polígonos regulares experimenta

Construyendo polígonos regulares experimenta

Polígonos regulares estrellados Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir vértices no consecutivos de los polígonos regulares. Si en un pentágono regular unimos sus vértices saltando de dos en dos, obtenemos la estrella pentagonal. Esta estrella sirvió de emblema a la escuela pitagórica fundada en Crotona, en el siglo VI a. J.C.

2.2. TRIÁNGULOS Triángulo es un polígono de tres lados. Clasificación:

Construyendo triángulos Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos: Conocidos los tres lados a, b y c: c) Con un lado a y los dos ángulos adyacentes B y C: b a a b c c a c B b) Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C: a B b b c c c a a experimenta

Criterios de igualdad de triángulos Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales. c b a II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a c b Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes. B c a

Mediatrices de un triángulo: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio D Circuncentro Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro

Mediatrices de un triángulo: Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro A B C El circuncentro de un triángulo equidista de los vértices del triángulo. DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB D Circuncentro DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC Por lo tanto DA = DC= DB= r Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en D. Esta circunferencia pasará por los tres vértices del triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Mediatrices de un triángulo: Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Observa que en el triángulo rectángulo el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. Observa que en el triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo. Observa que en el triángulo obtusángulo el circuncentro está en el exterior del triángulo. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio experimenta

Alturas de un triángulo: Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. A B C A B C O O Observa que en el triángulo rectángulo el ortocentro coíncide con el vértice del ángulo recto del triángulo. A B C Se llama altura de un triángulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto a dicho lado Indica que el ángulo es recto. experimenta O

Bisectrices de un triángulo: Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales I Incentro Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro

Bisectrices de un triángulo: Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro A B C El incentro de un triángulo equidista de los lados del triángulo. IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B M N P IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A Por lo tanto IM = IN= IP= r I Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en I. Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Bisectrices de un triángulo: Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. A B C A B C I I A B C Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales dicho ángulo I experimenta

Medianas de un triángulo: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. A B C A B C M M N P G P N G A B C M Se llama mediana de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto N P G P, M, N son los puntos medios de los lados experimenta

Rectas y puntos notables de un triángulo Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES

Polígonos de cuatro lados 2.3. CUADRILÁTEROS: Polígonos de cuatro lados CLAS I F I CAC IÓN PARALELOGRAMOS (tienen los lados paralelos dos a dos) Cuadrado Lados iguales y los cuatro ángulos rectos Rectángulo Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos Rombo Lados iguales y ángulos iguales dos a dos Romboide Lados y ángulos iguales dos a dos TRAPECIOS (Tienen dos lados paralelos) T.Rectángulo Sección inferior de un triángulo rectángulo por una paralela a la base T. Isósceles Sección inferior de un triángulo isósceles por una paralela a la base T. Escaleno Sección inferior de un triángulo escaleno por una paralela a la base TRAPEZOIDES (Ningún lado paralelo) No tiene ningún lado paralelo a otro l b h D d b h h   B b B b h B b h

Propiedades de las diagonales de un paralelogramo Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales. A A’ B B’ En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicular-mente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos. Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio. En el rectángulo y el cuadrado, las diagonales son iguales. experimenta

3. PROPORCIONALIDAD Proporcionalidad de segmentos y semejanza TEOREMA DE TALES a. Consecuencias del Teorema de Tales b. La tercera proporcional. Sección áurea. Semejanza a. Semejanza de triángulos. b. Polígonos semejantes. Escalas

3.1. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Sombra del árbol grande (S) S. árbol pequeño (s) H h Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura H h S s O A’ A B’ B ¿Con qué razón de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia? ¿Podrías calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra?

3.2. TEOREMA DE TALES r r’ O A’ A B’ B C’ D’ E’ E D C B’’ C’’ D’’ E’’ Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten O A’ A B’ B TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. experimenta

Consecuencias del teorema de Tales Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos un nuevo triángulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero. A M N Si en un triángulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC, por el teorema de Tales se cumple : B C P Trazando por N una paralela a AB, por el mismo teorema tenemos: El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales. De (1) y (2) se deduce: experimenta

La tercera proporcional. Sección áurea experimenta a b x Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados a y b si verifica la proporción: También sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional, hasta localizar un punto C del segmento AB de forma que: A B C b x Resolviendo la ecuación (número áureo o número de oro)

3.3. LA SEMEJANZA Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales Teorema fundamental: Si dos lados de un triángulo se cortan por una paralela al tercero, se obtiene otro triángulo semejante al primero. experimenta

Criterios de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales . Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

Polígonos homotéticos Polígonos semejantes Polígonos semejantes son los que se descomponen en triángulos semejantes dispuestos correlativamente. Se llama razón de semejanza de los polígonos a la razón entre sus lados homólogos. P P La razón de los perímetros de dos polinomios semejantes es igual a la razón de semejanza Polígonos homotéticos experimenta

3.4. ESCALAS Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la pieza está dibujada a escala. A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica. Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad. Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto. Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para reproducir dibujos a una escala determinada). El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A, una punta metálica B para repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro reglas forman un paralelogramo articulado BDEF. Los puntos A, B y C están alineados de modo que: experimenta

4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS. NÚMEROS PARTICULARES TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE LA ALTURA TEOREMA DEL CATETO RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

4.1. PITÁGORAS Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde aproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, una ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre filosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas. Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en una sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieron una gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Lo compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar los secretos y las enseñanzas de la escuela. La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad

4.2. NÚMEROS PARTICULARES 10=1+2+3+4 (8=4x2) Los pitagóricos clasificaban los números en pares e impares según formas o estructuras asociadas a ellos: Un número producto de dos factores desiguales, se llamaba oblongo: Si dos factores eran iguales, el número se llamaba cuadrado. El cuadrado n-ésimo de un número es la suma de los n primeros números impares Los números triángulos eran 1, 3, 6, 10, ...El n-ésimo número triangular es la suma de los n primeros números. Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado. Un número de tres factores se llamaba sólido. Si los tres factores eran iguales, se llamaba cubo. 12=3x2x2 27=3x3x3 Un número piramidal es la suma de una serie de números cuadrados 5=1+4 14=1+4+9 10=1+2+3+4 (8=4x2) 1=1x1 4=2x2=1+3 9=3x3=1+3+5 16=4x4=1+3+5+9

4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS. TEOREMA DE PITÁGORAS Catetos: b, c Hipotenusa: a Relación aritmética: a2=b2+c2 3 y 4 5 52=32+42 6 y 8 10 102=62+82 5 y 12 13 132=52+122 7 y 24 25 252=242+72 8 y 15 17 172=152+82 experimenta La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS: Los números que verifican esta relación reciben el nombre de números pitagóricos Cateto (c) Cateto (b) Hipotenusa (a) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa a2=b2+c2 Demostración

4.4. TEOREMA DE LA ALTURA En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí B A C Por ser los triángulos BHC y CHA semejantes, sus lados son proporcionales: h n m es decir, H TEOREMA DE LA ALTURA: La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta. o también,

4.5. TEOREMA DEL CATETO En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí B A C H m n h b a c Por ser los triángulos AHC y ABC semejantes, sus lados son proporcionales: es decir, TEOREMA DEL CATETO: En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. o también,

4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre C En el tr. AHC: En el tr. BHC: B H n c-n h b a Además: Sustituyendo A c c+n B A H h b a c C n El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre

CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Un triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. b a a b a2 < b2 + c2 a2 = b2 + c2 c c a b a2 > b2 + c2 c experimenta

5. LA CIRCUNFERENCIA Elementos de la circunferencia Aproximación del número  Número  Rectas y circunferencia. Posición relativa. Determinación de una circunferencia. Ángulos en una circunferencia a. Clasificación b. Medida de los ángulos en una circunferencia

5.1. Elementos de la circunferencia La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro. Además de los elementos de la circunferencia (centro, radio, diámetro, cuerda, arco) es interesante conocer su longitud. arco Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustión de polígonos regulares inscritos y circunscritos. La longitud de la circunferencia está comprendida entre los perímetros de estos polígonos. radio centro diámetro 6 lados 12 lados cuerda 24 lados 48 lados experimenta

5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI APROXIMACIÓN DE PI PI

5.3. NÚMERO  =3.1415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350006713929073505191648420308402276707050721678865...

5.4. Rectas y circunferencia. Posición relativa Exterior, si no la corta en ningún punto Tangente, si la corta en un solo punto Secante, si la corta en dos puntos Una recta respecto de la circunferencia puede ser: Exterior Secante Tangente Exteriores Exteriores Tangentes interiores Tangentes exteriores Secantes Interiores Concéntricas Dos circunferencias pueden ser entre sí: Tangentes interiores Tangentes exteriores Secantes Interiores Concéntricas

5.5. Determinación de una circunferencia. Por un punto A pasan infinitas circunferencias. Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias. A B A Por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia A B C

5.6. Ángulos en una circunferencia Características El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia. El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia. El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes. El vértice del ángulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia. El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser: Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes Ángulo central Ángulo interior Ángulo inscrito Ángulo semiinscrito Ángulos exteriores

Medida de los ángulos en una circunferencia Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A a+b O a b 2(a+b) 180º-2 a 180º-2b O a 2(a+b) g 2 g B b C 360º-(180º-2 a+180º-2 b)= =360º-360º+2 a+2 b= =2 a+2 b=2(a+ b)

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º g 2g 180º Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. experimenta experimenta

6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Midiendo superficies Áreas de los polígonos más sencillos a. El área en los productos notables b. Área del triángulo c. Área del romboide d. Área del rombo e. Área del trapecio Área de un polígono. Área del círculo. Área de otras figuras circulares. Razón entre las áreas de dos figuras semejantes.

Áreas de los polígonos más sencillos Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la extensión de dicha superficie. Las unidades patrón de superficie en el SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2, mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se utilizan las llamadas unidades agrarias: Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2). 43 u2 46,5 u2 b h Área del rectángulo=Base x altura A=b.h l Área del cuadrado=lado x lado A=l2

Áreas de cuadriláteros  h b b h b h Área del romboide=Base x altura A=b.h d D d experimenta B b h B b B+b

Área del triángulo, trapezoide, polígono regular e irregular. h b b h Área del trapezoide o polígono irregular= =Suma de las áreas de los triángulos a Área del polígono regular= =Suma de las áreas de los triángulos= =nºde triángulos x área de uno de los triángulos l

Un problema clásico: el área del circulo Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico: La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado. La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás. La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado. r

Área de otras figuras circulares Área de corona circular= =Área circulo mayor-Área círculo menor R r R α

El área en los productos notables Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras. El área del cuadrado se conserva (a+b)2 b ab = = a2 + + b2 a ab (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 a+b a b (a-b)2 - = ab ab + b2 a2 a - b b (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 a

El área en los productos notables Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas. - a2 b2 = = a+b a-b b a a-b a - b (a+b)(a-b) = a2 - b2 Recuerda: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 (a + b) (a - b) = a2 - b2

Razón entre las áreas de dos figuras semejantes C’ E D A B C F A’ B’ D’ E’ F’ La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos: experimenta l’ l l’ l

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS   NOMBRE FORMA ÁREA TRIÁNGULOS (Polígono de tres lados) Triángulo CUADRI-LÁ-TEROS (Polígono de cuatro lados) PARALE-LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos) Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide TRAPE CIOS (Tienen dos lados paralelos) Trapecio (rectángulo, isósceles o escaleno) TRAPE- ZOIDES Trapezoide Se divide en 2 triángulos y se suman sus áreas POLÍGONOS DE n LADOS Polígono regular Polígono irregular Se divide en triángulos y se suman sus áreas Circunferencia Círculo b h l b h D d b h B b h a l r

Movimientos a través de los mosaicos Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien, ¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono regular? No todos los polígonos regulares recubren exactamente el plano. Sólo tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad Las baldosas pentagonales no recubren perfectamente el plano Mosaicos hexagonales Mosaicos triangulares Mosaicos cuadrangulares

MOSAICOS T S G G90º G180º Traslación Simetría Giro de 180º de Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos movimientos. T Traslación S Simetría G Giro de 180º de centro el punto medio de un lado: G90º Giro de 90º respecto de un vértice: G180º Giro de 180º

MARÍA JESÚS ARRUEGO BAGÜÉS Parte de lo anterior está basado en su mayoría en el libro GEOMETRÍA Y EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en este trabajo MARÍA JESÚS ARRUEGO BAGÜÉS