RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN PROPORCIÓN DIRECTA INVERSA COMPUESTA PORCENTAJE

¿Qué son las razones y proporciones? Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar

RAZÓN Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas. Se puede escribir como Se lee " a es a b a:b ó Antecedente Consecuente

APLICACIONES DE RAZONES En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

APLICACIONES DE RAZONES Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.

APLICACIONES La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!

Dos razones son equivalentes si el valor de la razón es el mismo. Razones equivalentes Dos razones son equivalentes si el valor de la razón es el mismo. Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8, ya que 3:4 = 6:8 3:4= 0,75 y 6:8=0,75 2:4 es equivalente a 4:8 2:4= 0,5 y 4:8= 0,5 5:2 es equivalente a 10:4 5:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5

Amplificar y simplificar Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y simplificarla para obtener razones equivalentes, así: Simplificar División Amplificar Multiplicación

PROPORCIONES Se escribe a : b = c : d o Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones Se escribe a : b = c : d o Se lee “a es a b como c es a d” En toda proporción: Medios Extremos

OBSERVACIÓN El producto de los medios es igual al producto de los extremos. Dada la proporción: Se cumple:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante (k)

PORCENTAJE

Introducción Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.

Ejemplo Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.

CÁLCULO DE PORCENTAJE Para trabajar con tantos por cientos, se procede como una proporción directa.

Ejemplo Calcular el 32 % de 459. La proporción que se debe formar es:

Ejemplo Solución: La proporción que se debe formar es: ¿Qué porcentaje es 142 de 568? Solución: La proporción que se debe formar es:

Ejemplo Solución: La proporción que se debe formar es: De qué cantidad es 96 el 12%? Solución: La proporción que se debe formar es:

Mas horas de trabajo mas producción Observación Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Mas horas de trabajo mas producción

EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? Se tiene: Huevos Personas 3 12 x 20 Formando la proporción Multiplicando cruzado Resolviendo para x, se tiene que: Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

Ejemplo Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

Ejercicios Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos? Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2? Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque una llave que arroja 60 litros por minuto?

PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.

El número de obreros y el tiempo para realizar una obra Observación Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta. Ejemplo: El número de obreros y el tiempo para realizar una obra

EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? Se tiene: Se invierte la segunda razón Gallinas Días 300 20 400 x Formando la proporción Multiplicando cruzado Resolviendo para x, se tiene que: Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

Ejemplo Un depósito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?

Ejemplo de Proporcionalidad El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción... La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es... La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es... El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es... El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...

MATERIAL ADICIONAL http://www.vitutor.com/di/p/p_e.html (ejercicios con soluciones) http://www.vitutor.com/di/p/ejercicios_porcentajes.html http://www.ejerciciosweb.com/proporcionalidad/ http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=191859 (interactivo) https://www.youtube.com/watch?v=zAktI2QKFOA