Simetría y Poliedros Javier Bracho (Roli) 60 años de la SMM UAM-I, Junio 2003

Los Sólidos Platónicos El Tetraedro {3,3} El Cubo o Hexaedro {4,3} El Octaedro {3,4}

El Dodecaedro {5,3} El Icosaedro {3,5} ¿Y en otras dimensiones qué? ….¿Su desendencia?

En dimensión 2 Polígono regular de n lados, {n}: Polígono regular de n lados, {n}: Tiene muchas simetrías: tantas como es posible. Está hecho de vértices y aristas, y cualquier par v < a se puede mandar en cualquier otro por una isometría.

Sim + {n} Sim + {n} n rotaciones “Grupo cíclico” y además: n reflexiones “Grupo diédrico” y Sim{n}

Sim + {4,3} Rotaciones en caras: 6 ( p /2) + 3 ( p ) = 9 {4,3} {4},3} {{4},3}

…Sim + {4,3} Rotaciones en vértices: 8 (2 p /3) Rotaciones en aristas: 6 ( p ) # Sim + {4,3} = = = 24 La identidad (0)

{3,4} {3,4} = {4,3}* dual \ Sim + {3,4} = Sim + {4,3} El octaedro

{3,3} El tetraedro \ Sim + {3,3} Ì Sim + {4,3} # = 12 # = 12 y {3,3} = {3,3}* {3,3} = {3,3}*

Estos tres se generalizan: El n-simplejo, El n-simplejo, {3,3,…,3} : {3,3,…,3} : RnRn

El hiperoctaedro, El hiperoctaedro, {3,3,….,4} = {3,3,….,4} = El n-cubo, El n-cubo, {4,3,….,3} = {4,3,….,3} = I ‰ I ‰... ‰ I I ‰ I ‰... ‰ I casco convexo

El hipercubo {4,3,3} Ì R 4 {{4,3},3}

Proyecciones de R 4 a R 3 Ortogonal: Ortogonal: Desde un punto: Desde un punto:

El hiperdodecaedro {5,3,3} La construcción de Coxeter ( ) La construcción de Coxeter ( ) …y su proyección ortogonal...

“ SO(3) = P 3 ” Rotaciones de la esfera, S 2 … Bola sólida, B 3, identificando antípodas en la frontera de S 2. Pues, rotar p en v = rotar p en -v...se parametrizan por una dirección y un ángulo a < p, i.e. por un vector a v con v e S 2

R3R3 S2S2 id SO(3) v isto en S 3 Rotaciones de ángulo 2 a Rotaciones de ángulo p a

12 de 2 p /5 2 p /5 12 de 4 p /5 4 p /5 Sim + {5,3} Ì SO(3) “ Ì ” S 3 Rotaciones en caras:

… Sim + {5,3} 20 de 2 p /3 2 p /3 Rotaciones en vertices: 15 de p Rotaciones en aristas: = 60

Sim + {5,3} Ì SO(3) “ Ì ” S 3 p /5 p /3 2 p /5 p /2 son 120 S 3 puntos en S 3

Tomamos sus hiperplanos tangentes y queda el {5,3,3} (“120-cell”) Tomamos sus hiperplanos tangentes y queda el {5,3,3} (“120-cell”) “”

Su proyeccion ortogonal

El {5,3,3} tiene su dual {3,3,5} El {5,3,3} tiene su dual {3,3,5} hecho de 600 tetraedros hecho de 600 tetraedros Otro, que es autodual: Otro, que es autodual: {3,4,3} {3,4,3} hecho de 24 octaedros, hecho de 24 octaedros, asociado a Sim + {3,3} asociado a Sim + {3,3} Además, en R 4 hay:

Teorema. No hay más politopos regulares convexos. es decir: es decir: Además de {3,3,…,3}, {3,3,…,4}, {4,3,…,3}, sólo hay: En R 2 En R 2 {n} {n} En R 3 En R 3 {3,5} {3,5} {5,3} {5,3} En R 4 En R 4 {3,3,5} {3,3,5} {5,3,3} {5,3,3} {3,4,3} {3,4,3}