Apuntes Matemáticas 1º ESO Tema 16.10 ESFERA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO VOLUMEN DEL PRISMA Volumen = l.a.h Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. Para que exista volumen debe tener el cuerpo tres dimensiones: Largo, ancho y alto. El prisma regular recto es el cuerpo más representativo, por tener sus lados perpendiculares entre sí. La unidad de volumen es el metro cúbico(m3), que es el volumen de un cubo de 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de altura. Cuando el cuerpo geométrico en lugar de sólido sea hueco, hablamos de capacidad. La unidad de capacidad es el litro (l). Un litro equivale a 1 dm3 Alto = h Ancho = a Largo = l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

VOLUMEN PRISMA Y PIRÁMIDE Volumen Pirámide = Volumen Prisma / 3 V=Sb.h / 3 = = l.a.h / 3 h h l l a a V=Sb.h = l.a.h @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

VOLUMEN CILINDRO Y CONO Volumen Cono = Volumen Cilindro / 3 V=Sb.h / 3 = = π.r2.h / 3 h h l r r V=Sb.h = π.r2.h @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ESFERA Un círculo al girar sobre su diámetro origina un cuerpo sólido llamado esfera. La superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo, llamado centro de la esfera, O, es siempre la misma, el radio r de la esfera. El punto A del círculo original, al desplazarse alrededor del eje forma una circunferencia de máxima longitud. Esa circunferencia, en la Tierra, se llama Ecuador. r O A @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Casquete esférico Casquete esférico Cada una de las dos partes de la superficie esférica en que queda dividida la esfera si cortamos por un plano cualquiera. r Propiedad Sea r el radio del círculo del casquete esférico, h la altura del casquete, R el radio de la esfera y d la distancia del centro de la esfera al casquete. Por Pitágoras: R2 = r2 + d2 O también: R2 = r2 + (R – h)2 h R d @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo A una bola de billar de 7 cm de diámetro se la da un corte a 3 cm del centro. Hallar el radio del círculo menor que se obtiene. r 3 3,5 r Si el diámetro son 7 cm, el radio R de la esfera es 3,5 cm. El radio R de la esfera es hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma, donde un cateto son los 3 cm y el otro es el radio del círculo menor. Por Pitágoras: R2 = r2 + 32 3,52 = r2 + 32  r2 = 3,52 – 32 r2 = 3,25  r = 1,80 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Área y Volumen de la esfera Recubrimos una semiesfera con una cuerda. Enrollamos la cuerda sobre el círculo de la base. Observamos que hemos necesitado doble cuerda para recubrir la semiesfera que para cubrir el círculo. El área de la semiesfera es doble que el área del círculo. Luego el área de una esfera es CUATRO veces el área del círculo máximo. A = 4.л.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Área y Volumen de la esfera Encajamos una esfera en un cilindro tal que su altura es igual al diámetro de las bases. El cilindro estaba hueco y lleno de agua. Al meter la esfera, el agua desalojada son los 2/3 del agua que había. Concluimos que el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro. Como el volumen de ese cilindro es: V= л.r2.h = л.r2 2.r = 2.л.r3 El volumen de la esfera debe ser: V = 2/3. 2.л.r3 = 4/3.л.r3 V = 4/3.л.r3 r r 2r r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplos Ejemplo 1 Hallar el área y el volumen de una esfera de 10 cm de radio. A=4.л.r2 = 4.л.102 = 400.л cm2 V = 4/3.л.r3 = 4/3.л.103 =4000.л/3 cm3 Ejemplo 2 Hallar el área y el volumen de una esfera de 10 cm de diámetro. A=4.л.(d/2)2 = 4.л.52 = 100.л cm2 V = 4/3.л.(d/2)3 = 4/3.л.53 =500.л/3 cm3 d r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO