3. COMPONENTES PRINCIPALES Introducción Componentes principales Componentes principales muestrales Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores 1

Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible. Introducción Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible. Interpretación. Paso previo al uso de otras técnicas. 2 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Consiste en construir combinaciones lineales de las variables originales. Media: Varianza: Covarianza: 3 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Primera componente principal: combinación lineal de X tal que Segunda componente principal: combinación lineal de X tal que 4 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales ... i-ésima componente principal: combinación lineal de X tal que 5 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas  y autovalores y autovectores 6 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Entonces las componentes principales son: Además, 7 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas  y pares de autovalores y autovectores 8 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Sean las componentes principales: Entonces 9 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Consecuencia La proporción de varianza explicada por la componente es: Proposición 10 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Teorema Sean X, , , , y los pares de autovalores y autovectores de , Entonces las componentes principales de Z = (V1/2)-1 (X – μ) son: Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con  11 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales Además, y se cumple que Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con  12 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de Sn Entonces la i-ésima componente principal muestral es: La varianza muestral de es Varianza total muestral: Covarianza muestral de e es 0. Correlación muestral: 13 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de R Entonces la i-ésima componente principal muestral es: 14 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Varianza muestral de es Varianza total muestral: Covarianza muestral de e es 0 Correlación: 15 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Ejemplo 16 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Autovalores y autovectores Calcular componentes principales sobre las variables tipificadas. 17 COMPONENTES PRINCIPALES

Componentes principales muestrales Diagrama del precipicio Sirve para determinar cuántas componentes principales utilizar. Incluye el número de posibles componentes principales y los autovalores ordenados en los ejes x e y, respectivamente. Autovalores p 1 2  i n. 1 2    i    n nº c.p. Nota: Cuando el gráfico se hace horizontal, no se utilizan más componentes principales Se toman i componentes principales 18 COMPONENTES PRINCIPALES

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Dada , sean autovalores de  con (no se repiten). Sean X1, X2,..., Xn i.i.d. y los siguientes autovalores y autovectores muestrales 19 COMPONENTES PRINCIPALES

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores (i) Comportamiento asintótico de los autovalores d (ii) Comportamiento asintótico de los autovectores d (iii) Cada es independiente de los elementos de 20 COMPONENTES PRINCIPALES

Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Ejemplo Construir un intervalo con 1- = 0,95 para 1, siendo: 21 COMPONENTES PRINCIPALES

22 EJEMPLOS

Componentes principales con la matriz de correlaciones 24

25 EJEMPLOS

26 EJEMPLOS

27 EJEMPLOS

29 EJEMPLOS

33 EJEMPLOS

34 EJEMPLOS

35 EJEMPLOS

36 EJEMPLOS

37 EJEMPLOS

38 EJEMPLOS

39 EJEMPLOS

40 EJEMPLOS

41 EJEMPLOS

42 EJEMPLOS