Como veremos una función es una ley de asociación entre El concepto de función (primera aproximación) Como veremos una función es una ley de asociación entre los elementos de 2 conjuntos.

Antes de profundizar en este concepto, será necesario adquirir algunas nociones sobre lenguaje básico que, posteriormente, nos servirá para concretar una definición formal para función matemática.

Definición 1: Es cualquier tipo de asociación entre los elementos de 2 conjuntos … … conjuntos iguales entre sí o distintos.

Para comprender el trasfondo conceptual de la definición anterior, utilizamos un tipo de gráfica muy básica denominada: DIAGRAMA SAGITAL, veamos …

A B Relación: Es cualquier tipo de asociación entre los elementos de 2 conjuntos, por ejemplo, un conjunto, A (inicial), al que denominamos CONJUNTO DE PARTIDA. y un conjunto, B (final) ), al que denominamos CONJUNTO DE LEGADA. A B

= A A B Según se dijo, estos conjuntos pueden ser iguales entre sí … (conjuntos iguales son aquellos que tienen los mismos elementos) = A A B

= A A B O, en el caso más general, pueden ser, conjuntos distintos (dos conjuntos son distintos entre si al menos se diferencian en un único elemento o por supuesto en todos sus elementos) nota: A está formado por { rectángulo, óvalo, estrella } B está formado por { óvalo cruzado, óvalo, cruz } = A A B

A B Pero para que esta representación cumpla con la definición de relación, es necesario que exista una vinculación entre los elementos de ambos conjuntos. A B

A B En este tipo de diagramas (diagramas sagitales), tal vinculación, criterio de asociación o ley de formación (diferentes locuciones para referirnos al mismo concepto: vinculación), se define mediante flechas que parten en todos, uno o algunos de los elementos del conjunto de partida y finalizan en todos, uno o algunos de los elementos del conjunto de llegada, sin restricciones, es decir, la vinculación puede ser de cualquier manera imaginable … A B

A B Para una relación matemática, específica, no hay criterios de restricción en la forma en que la vinculación puede ser definida, veamos ... A B

Esta es una relación matemática, ya que hay dos conjuntos, uno de partida, otro de llegada y una vinculación entre sus elementos. A B R

A B R Para referirnos a una relación en particular, como la actual, siempre debemos mencionar, el nombre bajo el cual nos referiremos a ella (las relaciones se nombran con una letra, en este caso yo escogí llamarle relación R), el nombre de los conjuntos participantes, primero el del conjunto de partida, luego el del conjunto de llegada y finalmente, especificar cómo se vincularán los elementos de estos conjuntos, por ejemplo, con respecto a la relación actual, decimos … A B R

A B R 1) Nombre de la relación, 2) especificación de los conjuntos de definición, 3) especificación la ley de formación. Esta es la relación R, definida de A en B , tal que: rectángulo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo y óvalo cruzado (en el conjunto de llegada). óvalo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo cruzado y óvalo (en el conjunto de llegada). A B R estrella ( en el conjunto de partida) está asociado a ningún elemento del conjunto de llegada; lo mismo que cruz en B.

2) Simbología y designaciones (nombres). 2.a) A cualquiera sea un elemento del conjunto de llegada se le simboliza con una letra minúscula cualquiera. Por tradición es común utilizar la letra minúscula “y”. En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para referirnos a esta condición escribimos: Se lee: “y” es un elemento (cualquiera) de B.

2) Simbología y designaciones (nombres). 2.b) A cualquiera sea un elemento del conjunto de partida se le simboliza con una letra minúscula cualquiera (sólo por facilitar las cosas, habitualmente, distinta de la que se ha elegido para representara los elementos del conjunto de llegada, pero a veces incluso puede ser utilizada la misma letra, sobre todo cuando A y B son conjuntos idénticos), por tradición es común utilizar la letra minúscula “x” En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para referirnos a esta condición escribimos: Se lee: “x” es un elemento (cualquiera) de A.

A B R Respecto de los elementos y, puedes notar que, en el caso más general, no todos ellos tendrán, necesariamente, algún asociado en el conjunto de las “x” (conjunto de partida) y recíprocamente, no todo “x” de A, tendrá, necesariamente, algún asociado en B. Este hecho es la base para las siguientes definiciones. A B R

A B R 2.c) Imagen, valor dependiente o valor de la relación: Es cualquier elemento del conjunto de llegada que cumpla con la condición de tener algún asociado en A. Nota que al decir “algún asociado” estamos considerando indistintamente el caso en que este asociado pueda ser único o más de uno solo. A B R

A B R En el caso de nuestro ejemplo son valores de la relación R, es decir son imágenes, los elementos: óvalo cruzado y óvalo, ya que 1) Son elementos de B y 2) tienen algún asociado en A. A B R

Para simbolizar, en forma general, a una cualquiera de las imágenes de una relación, se escribe la letra del nombre de la relación, seguida de un paréntesis y dentro de este paréntesis la letra que hemos escogido para representar a un elemento cualquiera de A, en este caso particular la letra “x”, por ejemplo: óvalo cruzado y óvalo son en general una R(x) es decir, son en general una imagen de la relación R, asociadas con algún x de A. luego R(x) es un símbolo que se lee como: “ imagen de la relación R, asociada con algún x de A ”. Otra lectura para R(x) es “erre de x”, pero a la hora de un análisis es más efectivo tener en cuenta el primer tipo de lectura, a la cual, por esta razón llamo lectura inteligente de R(x).

El elemento, , cruz, en cambio, es un “y” de B, pero no una R(x). pero no una “ imagen asociada con algún x de A ”

2.d) Argumento, preimagen o valor independiente de una relación: Es cualquier elemento del conjunto de partida que cumpla con la condición de tener algún asociado en B. En el caso de nuestro ejemplo son argumentos de la relación R, es decir, valores independientes o preimágenes de R, los elementos: rectángulo y óvalo, ya que: 1) Son elementos de A y 2) tienen algún asociado en B.

rectángulo y óvalo, son “x” de A y al mismo tiempo argumentos de R. estrella es otro “x” de A, pero no un argumento de R.

Para simbolizar, en forma particular, a una imagen específica con su argumento específico escribimos: El nombre de la relación, seguida de un paréntesis dentro del cual ubicamos al argumento específico y todo esto igualado a la imagen específica para ese argumento, por ejemplo: R( ) = R( ) = La imagen de la relación R, asociada al argumento rectángulo es … óvalo cruzado y además es también … óvalo

2.e) Recorrido de una relación o conjunto imagen: Es el conjunto de todos las imágenes de una relación, al cual se denota como: Rec(nombre de la relación) En este caso particular, el Recorrido de la relación R es: Rec(R) = { , } Rec(R)

2.f) Dominio de una relación o conjunto argumento: Es el conjunto de todos los argumentos de una relación, al cual se denota como: Dom(nombre de la relación) En este caso particular, el dominio de la relación R es: Dom(R) = { , } Dom(R)

Nota: Es importante no confundir los conceptos de imagen v/s Recorrido. y argumento v/s Dominio. Recorrido y Dominio aluden a conjuntos, es decir a la totalidad de ciertos elementos. Imagen y argumento aluden a uno solo de los elementos de los conjuntos anteriores o a todos ellos, pero en este último caso siempre considerados individualmente, es decir de uno en uno.

Si has aprendido el lenguaje anterior, estarás listo para comprender el concepto de función.

El concepto de función Es … Una ley especial … … una regla especial … (primera aproximación) Es … Una ley especial … … una regla especial … …¿ De qué?

} … De asociación, de asignación, Sinónimos de vinculación …

… entre los elementos de 2 conjuntos … iguales … o … A B = A

… entre los elementos de 2 conjuntos distintos … … iguales … o … = A A B

Por lo anterior una función es un caso particular, especial de relación. (hasta ahora se ve que tanto una función como una relación, se definen de un mismo modo)

¿Por qué es una asociación (relación) especial ? B A

R: Porque debe cumplir 2 condiciones … B A

C1: Cada (todo) elemento de A debe tener un asociado en B B A

C2: éste asociado es único para él. B A

Síntesis: Para todo elemento de A hay un único asociado en B B A

Contra ejemplos ¿Es o no es? función … A B

Contra ejemplos No, porque no cumple C1. A B

Contra ejemplos ¿Es o no es? función … A B

Contra ejemplos No, porque no cumple C2 A B

¿Es o no es? función … Sí lo es, pues la definición de función fija condiciones sólo a los elementos de A. A B

¿Es o no es? función … No lo es. A B 1 p

¿Es o no es? función … No es posible saberlo, pues la definición de función requiere examinar la vinculación a partir de los elementos de A. A p B

¿Es o no es? función … A p B Sí, lo es. En el caso particular de esta lámina … A p B

Denominaciones y simbolismos Las funciones (como las relaciones) se nombran con letras escogidas a voluntad, por ejemplo …

g A B 1 p A B f 1 p Se trata de la función g (“ge”) Se trata de la función f (“efe”)

g A B 1 p 1 es un x, de A p es otro x de A es otro x de A Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto A (conjunto de partida) se representan por una letra minúscula, en general “x”, pero esto podría variar según sea la convención establecida. p es otro x de A es otro x de A

g A B 1 p es un y, de B es otro y de B es otro y de B Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto B (conjunto de llegada) se representan por una letra minúscula, en general “y” pero esto podría variar según sea la convención establecida, naturalmente, la única restricción será elegir una letra distinta a la elegida para los elementos de A (esto evitará confusiones innecesarias).

A B -1 -p h -3 4 5 2 Si, la función EXISTE, entonces -3 4 5 2 Si, la función EXISTE, entonces al conjunto A se le denomina Dominio de la función (o conjunto argumento)

B A h -1 4 -p 5 2 -3 Un dominio funcional existe si y solo sí la ley de formación existe sobre todos los elementos de A y es UN CONJUNTO DE OBJETOS,(no confundir el concepto de conjunto con el de elemento) Dom(h) = {-1, -p, 0 , }

De lo contrario será el dominio de una simple relación, no el dominio de una función.

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Rec(h) Si, la función EXISTE, entonces -3 Rec(h) Si, la función EXISTE, entonces aquel conjunto formado por las y de B que son, además, asociados de las x de A, se denomina recorrido de la función o conjunto Imagen de ella.

B A h -1 -3 4 5 -p 2 Rec(h) El recorrido de una función Rec(h) El recorrido de una función es un conjunto (no confundir el concepto de conjunto con el de elemento), aquel formado por todos las y de B que son, además, asociados de algún x en A.

De lo contrario será el recorrido de una simple relación, no el recorrido de una función.

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Rec(h) = {-3, , 2 , 4 }

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Cada x del domino se llama argumento o pre imagen de la función. Rec(h) = {-3, , 2 , 4 }

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Cada y del recorrido se llama imogen de la función. Rec(h) = {-3, , 2 , 4 }

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Todo y es un elemento de B, pero sólo algunos de estos y son, también, imágenes. Rec(h) = {-3, , 2 , 4 }

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Sólo a estas y, especiales, se les representa en forma genérica por el nombre de la función y una x dentro de un paréntesis: h(x) Rec(h) = {-3, , 2 , 4 }

B A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Es un y, pero no es un h(x). A h -1 -3 4 5 4 -p 5 2 -3 Dom(h) = {-1, -p, 0 , } Cualquiera de estos elementos** es, genéricamente, un h(x). Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } **(no confundir el concepto de elemento con el concepto de conjunto)

B A h y x y Todas las y, son elementos del conjunto de llegada, pero … … sólo para algunas de estas y tendrá sentido la escritura genérica …: A B h y x y

y = h(x) y = h(x) A B h y = h(x) y x y = h(x) Todas las y, son elementos del conjunto de llegada, pero … … sólo para algunas de estas y tendrá sentido la escritura genérica …: y = h(x) y = h(x) A B h y = h(x) y x y = h(x)

B A h -1 4 -p 5 2 -3 En particular … Es una h(x), llamada h(-1) Es una “imagen de x”, llamada “imagen de -1” -3 En particular … Es un h(x), llamado h( ) Es una “imagen de x”, llamada “imagen de raíz cuadrada de 2”.

B A h -1 4 -p 5 2 -3 Recíprocamente … Es el argumento ,x, de -3 Recíprocamente … Es el argumento ,x, de la “imagen de x” Es el argumento ,-1, de la “imagen de -1” -1 es el argumento de 4, etc.

Control 1 de funciones. 1) Para cada una de las proposiciones siguientes reemplace el signo de interrogación con el concepto que debe corresponderse. Si no existiese tal concepto explique a qué se debe. 2) Responda a otras interrogantes planteadas en el momento pertinente.

1) f(?) = -3 -3 -8 9 16 A f f(?) = 9 f(16) = -? f(-3) = ? Qué elementos y, no son del Rec(f)? B C 2) g g(-44) = ? g(?) = 9 g(9) = ? -44 -33 g(?) = -8 -8 -8 g(3) = ? 9 9 16 19 Qué elementos y, no son g(x)?

3) A B h -3 8 5 3 3 -9 -6 9 12 12 Respecto de h cuáles son los argumentos de: 3, h(-3), -6, 9, h(5), 8 ? h -3 8 5 3 3 Respecto de h cuáles son las imágenes de: 12, h(-3), 5, -6 ? -9 -6 9 12 12

4) A B C h I x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 x5 y5 z5 Dom(I)=? h(?)=z1 Rec(I)=? Dom(h)=? h(?)=y5 Rec(h)=? h (x1)=? I (?)=z5 I (h(x3))=? I (h( x4 ))=? I (h(?))=z5 I (y5)=?

Representación cartesiana de funciones: