UPC MA49 (EPE) Tema: Matriz Inversa Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 MA49 (EPE) UPC Tema: Matriz Inversa
Competencias: Definir los conceptos de matriz inversible y de matriz inversa. Enuncia y demuestra las propiedades de la inversa de una matriz. Método de Gauss-Jordan. Resolución de SEL mediante la inversa.
INTRODUCCIÓN: AX=B es un SEL dado en forma matricial, el procedimiento de dividir por A no es posible realizarlo debido a que la división de matrices no esta definida. Sin embargo estamos interesados en hacer algo parecido a lo que hacemos en las ecuaciones de primer grado.
DEFINICIÓN: Sea A una matriz de orden n, si existe una matriz B tal AB=BA=I la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1. Si : AB = BA = I Entonces: B = A-1
OBSERVACIONES Si A-1 existe se tiene: A A-1= A-1A=I Si la inversa de A existe se dice que A es inversible. Si A no es inversible se dice que es singular.
TEOREMA Si A es una matriz inversible entonces la inversa es única.
PROPIEDADES DE LA INVERSA Si A y B tienen inversa, entonces el producto AB es inversible y (AB)-1 = B-1A-1 Si A tiene inversa y k 0, entonces kA es inversible y (kA)-1 = (1/k)A-1 Si A es una matriz no singular, entonces (At )-1 = (A-1 )t
Método de Gauss-Jordan CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Método de Gauss-Jordan Para determinar la inversa de la matriz A3x3, debemos hallar la matriz X tal que: AX=I A X I
Se tiene los siguientes sistemas lineales: 1 2 3
Resumiendo: Entonces: B = A-1 Se forma la matriz [A:I], enseguida se escalona la matriz por filas a [I:B] es decir: A I I B Entonces: B = A-1
Ejemplo: Encontrar la inversa de
RESOLUCIÓN DE S.E.L. MEDIANTE LA INVERSA Ejemplo: Resolver el sistema AX = B A X B
Multiplicando ambos miembros por A-1: A-1.(A.X)=A-1B I.X= A-1B X= A-1B
En el ejemplo tenemos: , entonces
Si A es no singular, entonces det(A) 0, y : DETERMINANTE DE LA INVERSA Si A es no singular, entonces det(A) 0, y : =