Electromagnetismo en la Medicina (Formulas & Ejercicios) Dr. Willy H. Gerber Objetivos: Comprender como se desplazan cargas en nuestro cuerpo y como estas son empleados en la operación del cuerpo. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

r Carga y fuerza de Coulomb Carga Q [C: Coulomb] Carga de test q Charles Coulomb F Q q r ε0 ε E Fuerza [N] Carga [C: Coulomb] Carga de test [C:Coulomb] Distancia Carga – Carga test [m] Constante de campo = 8.85x10-12 C2/Nm2 Numero dieléctrico (en caso de que el medio se polarice) Campo Eléctrico [N/C=V/m (V: Volt)] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

E Q Q Q Ley de Gauss Carl Friedrich Gauss www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

r Potencial de una Carga Carga Q [C: Coulomb] V Q q r ε0 ε Potencial [V: Volt (V=Nm/C energía por carga)] Carga [C: Coulomb] Carga de test [C:Coulomb] Distancia Carga – Carga test [m] Constante de campo = 8.85x10-12 C2/Nm2 Numero dieléctrico (en caso de que el medio se polarice) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

+Q d θ r −Q Dipolo eléctrico Momento dipolar V P Q R θ ε0 ε Potencial [V: Volt] Momento dipolar [Cm] Carga [C: Coulomb] Distancia a un punto en que se mide el campo [m] Angulo en que se mide el campo [radianes o grados] Constante de campo = 8.85x10-12 C2/Nm2 Numero dieléctrico (en caso de que el medio se polarice) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

V I R Ley de Ohm Georg Simon Ohm V R I Potencial [V: Volt] Resistencia [Ω: Ohm] Corriente [A: Amperes = C/s] En el caso del cuerpo humano las principales corrientes no se deben a electrones, si no a los iones Na+, K+, Ca2+ y Cl− www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

R Calculo de la Resistencia R Resistencia [Ω: Ohm] ρ G Resistencia [Ω: Ohm] Densidad de resistencia [Ωm] Sección [m2] Largo [m] Resistencia por largo [Ω/m] Conductividad [S: Siemens = 1/Ω] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Conductividad en sistemas biológicos ni Λi Numero de moles de los iones i Conductividad molar de iones i Ion Λ [1/Ω mM] Con. Sangre [mM] Con. Citoplasma [mM] H+ 34.9 40 100 OH− 19.8 Na+ 5.0 145 12 Cl− 7.6 115 4 www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

−Q +Q A d Voltaje entre dos superficies cargadas V Q C ε ε0 A d Potencial [V: Volt] Cargas en cada superficie [C: Coulomb] Capacidad [F: Farad] Numero dieléctrico del medio entre las placas Constante de campo = 8.85x10-12 C2/Nm2 Área de las placas [m2] Distancia de las placas [m] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Ejercicios ¿Cual es el campo eléctrico de una esfera de 5 cm de radio con una carga total de +10-5 C en el vacio a una radio de 3 cm, 6 cm, 10 cm y 100 cm? (0 V/m, 2.50x10+7 V/m, 8.99x10+6 V/m, 8.99x10+4 V/m) ¿Una molécula de agua puede ser modelada como un dipolo de dos cargas del tamaño de la de un electrón a una distancia de 10-10 m. Cual es el momento dipolar? (1.6x10-29 Cm) ¿Cual es potencial del dipolo en una ángulo de 45 grados a una distancia de 10 largos de un dipolo? (0.102 V) ¿Si la sangre contiene 40 mM de H+, 40 mM de OH-, 145 mM de Na+ y 115 mM de Cl- con las conductividades respectivas de 34.9 1/Ω mM ,19.8 1/Ω mM, 5 1/Ω mM y 7.6 1/Ω mM. Cual es la conductividad de la sangre? (3787 1/Ω) ¿A que resistencia corresponde la conductividad del ejercicio anterior? (2.64x10-4 Ω) ¿Que densidad de resistencia de la sangre es de 1.6 Ωm, cual es la resistencia de una vena de 1 m de largo y 0.03 mm de diámetro? (2.26x10+9 Ω) ¿Si se aplica un voltaje de 10 mV a la vena descrita en el ejercicio anterior. De que tamaño seria la corriente que surge? (4.42x10-12 A) ¿Cuantos iones pasan por sección y segundo para el caso de la vena descrita en el ejercicio 6 y la corriente descrita en el ejercicio 7 indicado en moles (1 mol = 6.02x10+23 partículas) ? (4.59x10-17 mol/s) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Ejercicios 9. ¿Cual es la resistencia del núcleo de un axón de 10-4 m de largo, 5x10-6 m de radio y 0.5 Ωm de densidad de resistencia? (6.37x10+5Ω) ¿Cual es la resistencia de la membrana de un axón de 10-4 m de largo, 5x10-6 m de radio, 6x10-9 m de ancho de la membrana y 107 Ωm de densidad de resistencia? (5.30x10+15Ω) ¿Cual es la capacidad de la membrana de un axón descrita en el ejercicio anterior si la permeabilidad es de 6? (2.78x10-11 F) ¿Si la diferencia de potencial entre el lado interior y exterior de la membrana descrita en el ejercicio 10 es de 30 mV y la capacidad es la que se calculo en el ejercicio 11, cuantas cargas se encuentran en la superficie? (5.21x10 6) ¿Cuantas cargas y que signo tendrían si la diferencia de potencial del ejercicio anterior fuera – 80 mV? (1.39x10 7, negativas) ¿Cuantas cargas deben pasar de una superficie de la membrana a la otra para pasar de una diferencia de 30 mV a -80 mV? (1.91x10 7) ¿Si las cargas son aportadas en parte por los iones K+ que existen en una concentración de 150 mMol/L. Cuantos iones se encuentran en el axón descrito en el ejercicio 9? (7.09x10 11) ¿Que fracción representan los iones a ser transportados del total de iones K+? (2.7x10 -3 %) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Ejercicios 17. ¿Si un pulso nervioso tiene un largo de 10-6 m, cuantos iones deben ser transportados por el campo eléctrico a través de la membrana? (1.91x10 5) 18. ¿Cual es el campo eléctrico que existe dentro de la membrana a una distancia r del eje del axón? (E=Q/εε0 2πrL) 19. ¿Cual es el campo eléctrico en la mitad de la membrana si se considera la carga para el caso calculado en el ejercicio 14, la geometría del axón definida en el ejercicio 9 y una permeabilidad de 7? (1.57x10 7 V/m) 20. ¿Cual es la aceleración que experimenta un ion K+ (39g/mol)? (3.88x10 13 m/s2) 21. ¿Cuanto tiempo se demora en atravesar el ion la membrana descrita en el ejercicio 10 bajo la aceleración calculada en el ejercicio anterior? (1.76x10 -11 s) www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Soluciones Gauss: EA=Q/εε0 donde A=4πr2 es el área de una esfera de radio r y Q es la carga dentro de la superficie A. r=3 cm => Como toda las cargas se distribuyen en la superficie de radio 5 cm, una superficie a 3 cm no contiene cargas => Q=0 => E=0 V/m. En el resto de los casos la carga es Q=10-5 C y E=Q/4π εε0 r2 r=6 cm => E=2.50x10+7 V/m, r=10 cm => E=8.99x10+6 V/m y r=100 cm? => E=8.99x10+4 V/m. q=1.6E-19 C, d=10-10 m => El momento dipolar es P = qd = 1.6x10-29 Cm Θ=45°, R=10*d=10*10-10 m = 10-9 m => El potencial del dipolo es V = P*cos(Θ)/(4*π*e*e0* R2) = 0.102 V nH+=40 mM, nOH+=40 mM, nNa+=145 mM , nCl+= 115 mM, ΛH+= 34.9 1/Ω mM , ΛOH-= 19.8 1/Ω mM, ΛNa+=5 1/Ω mM y ΛCl-=7.6 1/Ω mM => La conductividad es G = nH+ΛH+ + nOH+ΛOH+ + nNa+ΛNa+ + nCl+ΛCl+ = 3787 1/Ω La resistencia es R=1/G=2.64x10-4 Ω L=1m, d=0.03mm del cilindro =>r=d/2=1.5x10-5 m. área del cilindro A=πr2. R=ρL/A=2.26x10+9 Ω V=10mV, R=2.26x10+9 Ω => la corriente es I=V/R =4.42x10-12 A www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Ejercicios 8. El numero de partículas se calcula dividiendo la corriente (corriente=cargas por segundo) por la carga de una partícula e: N=I/e = 4.42x10-12 A /1.6x10-19= 2.76x10-8 => para pasar a moles se divide por el numero de partículas NA=6.02 x1023 que contiene un mol: N/NA = 4.59x10-17 mol/s 9. La resistencia es R= ρ L/A=>L=10-4 m, r=5x10-6 m, ρ=0.5 Ωm => con área del cilindro A= πr2 es R=ρ L/πr2=6.37x10+5Ω La resistencia es R= ρ L/A=>L=10-4 m, r= 5x10-6 m, d=6x10-9 m, ρ=107 Ωm => con área del manto del cilindro A= 2πrd es R=ρ L/2πrd=5.30x10+15Ω La capacidad es C=ee0 A/L => L=10-4 m, d=6x10-9 m => con área del manto del cilindro A=2πr L es C=ee0 2πr L/d=2.78x10-11 F La carga es Q=CV =>V=30 mV=0.03V, C=2.78x10-11 F => Q= 8.34x10-13C. El numero de cargas es Q/e=5.21x10 6. La carga es Q=CV =>V=-80 mV=-0.08V, C=2.78x10-11 F => Q= -8.34x10-13C. El numero de cargas es Q/(-e)=1.39x10 7 y cargas negativas Suma de cargas de los ejercicios 12 y 13: 5.21x10 6+1.39x10 7=1.91x10 7 Convertir mMol/L en partículas/m3 =>1mMol=0.001Mol=0.001*6.02x10 23 , 1 L = 10 m3 =>n=150mMol/L = 9.03x10 25 partículas/m3. Cantidad N=nV con V volumen, V=Lπr2=7.85x10-15 =>N=7.09x10 11. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08

Ejercicios 16. Fracción iones que pasan por la membrana (ejercicio 14) y el total en el axón (ejercicio 15) x 100: 100*1.91x10 7/ 7.09x10 11=2.7x10 -3 % 17. En el axón de largo L=10-4 m (ejercicio 9) pasan 1.91x10 7 iones (ejercicio 14). Si el pulso tiene un largo de 10-6 m pasan 1.91x10 7 10-6 m/10-4 m = 1.91x10 5 iones 18. Gauss: E = Q/εε0 A con Q carga y el área del manto del cilindro A=2πrL. L largo y r radio del axón => E=Q/εε0 2πrL 19. De 18: E=Q/εε0 2πrL con N=1.91x10 7 con la carga elemental => Q=Ne=3.06x10-12 C (ejercicio 14), L=10-4 m, r= 5x10-6 m (ejercicio 9) y ε=7=> E=1.57x10 7 V/m 20. F=eE, F=ma (mecánica) =>a=F/m=eE/m. m: 39g/mol = 0.039 kg/6.02x1023= 6.48x10-26 kg=>a=3.88x10 13 m/s2 21. d=½ at2=>t=√2d/a , a=3.88x1013 m/s2, d= 6x10-9 m=>t=1.76x10 -11 s. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-07-Electromagnetismo-Ejercicios-Version-05.08