Annibal ad Portas Resistiendo la ofensiva mecanicista Enrique Alonso U.A.M.

Mentalismo y Mecanicismo Presentación

Una pregunta muy simple ¿Hay actos objetivos de la mente que no puedan ser reproducidos por ingenio mecánico alguno?

Mentalismo La respuesta es afirmativa Mecanicismo La respuesta es negativa

Tensiones en el equilibrio Episodios recientes

Desde el frente mecanicista: - Formulación de los principios fundamentales de la Teoría de la Computación * Máquina Universal de Turing

Desde el frente mentalista: - Aparición de los principales resultados de limitación * Teoremas de Incompletitud de Gödel * Problema de Parada

Teoremas de Incompletitud de Gödel: Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente, entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega- ción, son demostrables en PA. Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.

Problema de Parada: Turing-Church (1936-7): No hay una función computable H(x,y) capaz de determinar si la x-ésima función computable f x finaliza o no su rutina cuando computa el input y.

Dos interpretaciones Interpretación neutral: Nos vemos enfrentados a la existencia de problemas legítimos que no podemos resolver con los medios adecuados Interpretación mentalista: Las capacidades de la mente superan las de cualquier formalismo al establecer la existencia de limitaciones en aquello que tales formalismos son capaces de hacer

Primer Frente El argumento de Lucas-Penrose

Obras de Referencia - Lucas, J.R.: “Minds, Machines and Gödel”, Philosophy, xxxvi, 1961, pp The Freedom of the Will, Oxford University Press, Penrose, R.: The Empiror’s New Mind, Oxford University Press, 1989

El argumento original de Lucas

¿De qué manera se pueden determinar las fórmulas que componen una teoría T? A es una verdad de T A es teorema de T

1. No se dispone de una prueba que garantice que toda verdad de T es un teorema de T 2. Se dispone de una demostración que establece que la supo- ción de que toda verdad de T es un teorema de T conduce a contradicción. 3. Disponemos de una demostración que establece la existencia de una fórmula A que es una verdad de T pero que no es un teorema de T

Reinterpretación del Punto Fijo G de Gödel 1. La verdad de G se establece mediante un argumento racional en el que se determina igualmente que G no es un teorema de T (PA, en este caso) 2. G puede añadirse a T (PA), pero el argumento se reproduce para un enunciado G’. 3. No hay una teoría T’ con mayor potencia que T (PA) en la que la situación se resuelva

Análisis del enunciado G Premisa principal:  PA G  ¬Bew(G) Hipótesis: ¿  PA G? o ¿  PA ¬G?

G no es demostrable en PA 1.  PA G  ¬Bew(G) 2.  PA G Hyp 3.  PA ¬Bew(G),por 1 y 2 4.  PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.) 5. , por 3 y 4 6. No ocurre que  PA G, reductio 2-5

¬G no es demostrable en PA 1.  PA G  ¬Bew(G) 2.  PA ¬G Hyp 3.  PA Bew(G), por 1 y 2 4.  PA  y Prov(y,G), por 3 5.  PA G, por  -consistencia

 -Consistencia: Una teoría T es  -consistente syss no se da el caso de que todas las fórmulas en {  x ,  (x/a1),  (x/a2),...  (x/ai),...} sean teoremas de T.

¬G no es demostrable en PA 1.  PA G  ¬Bew(G) 2.  PA ¬G Hyp 3.  PA Bew(G), por 1 y 2 4.  PA  y Prov(y,G), por 3 5.  PA G, por  -consistencia 6. , por 2 y 5 7. No ocurre que  PA ¬G, reductio 2-6

Argumento de Lucas (argumento mirabilis): 1. La demostración anterior establece que ni G, ni su negación ¬G son demostrables en PA 2. No hemos cambiado de teoría de modelos, por tanto, una de las dos ha de ser verdadera 3. Advertimos, por simple inspección, que G es la verdadera 4. Sin embargo, 3 no se puede representar en PA

Por tanto, 5. Diponemos de medios objetivos que permiten aceptar enunciados que no pueden ser generados en el interior de ningún sistema de reglas

Rectificación del argumento de Lucas Primer Teorema: Si PA (Aritmética de Peano) es consistente, entonces hay una fórmula G de PA tal que ni ella, ni su nega- ción, son demostrables en PA.

1.  PA G  ¬Bew(G) 2.  PA G Hyp 3.  PA ¬Bew(G),por 1 y 2 4.  PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.) 5. , por 3 y 4 6. No ocurre que  PA G, reductio 2-5

1.  PA G  ¬Bew(G) 2.  PA G Hyp 3.  PA ¬Bew(G),por 1 y 2 4.  PA Bew(G), por 2 y el significado de Bew(.) 5. , por 3 y 4 6. No ocurre que  PA G, reductio 2-5 1’. PA es Consistente, Hyp 7. PA es Consistente  No ocurre que  PA G, introd. del condicional

El enunciado cuya verdad advertimos no es G Sino, PA es Consistente  No ocurre que G sea demostrable

Pero, PA es Consistente  No ocurre que G sea demostrable Es demostrable en PA:  PA Con(PA)  ¬Bew(G) De hecho, constituye la prueba de...

Segundo Teorema: Si PA es consistente, entonces el enunciado formal que expresa la consistencia de PA no es demostrable en PA.

El gambito de Penrose

1. Con(PA)  (G es verdadera & G no es demostrable), 1er Teorema de Gödel Sin embargo, 2. Con(PA) es autoevidente Por tanto, 3. G es verdadera & G no es demostrable Y en particular, 4. G es verdadera

- “Con(PA) es evidente” no se establece de manera constructiva, es una mera conjetura. Sin embargo, - no se afirma que “`G es verdadero’ es evidente” Sino - G es verdadero

Segundo Frente El Nuevo Argumento de Penrose

Dramatis personae 1. A: - Es la clase formada por todas las funciones numéricas computables - Es la clase formada por todas las tareas que pueden ser ejecutadas de manera efectiva

2. H(x,y): Se define del siguiente modo: H(x,y) =1si f x (y) está definida =0en otro caso 3. g(x)=H(x,x) 4. g*(x): Se define del siguiente modo: g*(x) =1si g(x)=0 indefinida en otro caso

Problema de Parada (Pp): Exposición informal: ¿Existe un método efectivo capaz de determinar para cual- quier tarea efectiva y cualquier input que ésta pueda procesar en qué casos finaliza arrojando un output? Traducción formal: ¿H(x,y)  A?

H(x,y)  A (demostración): 1. H(x,y)  A 2. Si H(x,y)  A, entonces g(x)  A 3. Si g(x)  A, entonces g*(x)  A 5. g*(x)=fi(x) 4. g*(x)  A 6. g*(i)=1 7. fi(i)=1 8. fi(i) está definida 9. g(i)=1 10. g*(i) no está definida 11. ¬(g*(i)=1)

1. H(x,y)  A 2. Si H(x,y)  A, entonces g(x)  A 3. Si g(x)  A, entonces g*(x)  A 5. g*(x)=fi(x) 4. g*(x)  A 6. g*(i)=1 7. fi(i)=1 8. fi(i) está definida 9. g(i)=1 10. g*(i) no está definida 11. ¬(g*(i)=1) 12. g*(i) no está definida 13. fi(i) no está definida 14. g(i)=0 15. g*(i)=1 16. No ocurre que H(x,y)  A

Un fragmento notable 1. H(x,y)  A 2. Si H(x,y)  A, entonces g(x)  A 3. Si g(x)  A, entonces g*(x)  A 5. g*(x)=fi(x) 4. g*(x)  A 6. g*(i)=1 7. fi(i)=1 8. fi(i) está definida 9. g(i)=1 10. g*(i) no está definida 11. ¬(g*(i)=1) 16. No ocurre que H(x,y)  A

1. H(x,y)  A 2. Si H(x,y)  A, entonces g(x)  A 3. Si g(x)  A, entonces g*(x)  A 5. g*(x)=fi(x) 4. g*(x)  A 8. fi(i) está definida 9. g(i)=1 16. No ocurre que H(x,y)  A fi(i)=1 7. g*(i)=1 10. g*(i) no está definida 11. ¬(fi(i)=1)

1. H(x,y)  A 2. Si H(x,y)  A, entonces g(x)  A 3. Si g(x)  A, entonces g*(x)  A 5. g*(x)=fi(x) 4. g*(x)  A 8. fi(i) está definida 9. g(i)=1 16. No ocurre que H(x,y)  A 6. fi(i)=1 7. g*(i)=1 10. g*(i) no está definida 11. ¬(fi(i)=1) 12. fi(i) no está definido 13. g(i)=0 14. g*(i)=1 15. fi(i)=1

Hipótesis ¿Puede emplearse el esquema formal desarrollado en el Pp como base para una demostración consistente que establezca  (i)  fi(i)? Condiciones abstractas del problema 1.  (x) corresponde a un cierto algoritmo cuyo contenido no tenemos por qué establecer aún. 2. fi(x) representa a  (x) en A.

Objetivo Se trata de 1. Construir una demostración consistente de que fi(i) no está definida Que sirva a un tiempo para establecer 2. Que  (i)=1 Consiguiendo llegar de ese modo a concluir que 3.  (x)  A

Parte I: fi(i) no está definida 1.  (x) es representable en A 2. Existe un i tal que  (x)=fi(x) 3. fi(i)=1 4.  (i)=1 5. fi(i) no está definido 6. ¬(fi(i)=1) 7. fi(i) no está definida

Condiciones críticas sobre la demostración 1. fi(x)=k   (x)=k - alude a la relación de representabilidad 2.  (x)=1  fi(x) no está definida - determina parte del contenido de  (x)

Parte II:  (i)=1 puede ser establecido consistentemente 1.  (x) es representable en A 2. Existe un i tal que  (x)=fi(x) 3. fi(i)=1 4.  (i)=1 5. fi(i) no está definido 6. ¬(fi(i)=1) 7. fi(i) no está definida 8.  (i)=1 9. Existe un i tal que fi(i)  (i) 10.  (x) no representable en A

Condiciones críticas sobre la demostración 1. Entre 1 y 7 tiene que haber información que permita introducir  (i)=i en 8 - Determina parte del contenido de  (x) 2. No hay nada que permita pasar de  (x)=1 a fi(x)=1 - Alude a la relación de representabilidad

Definición del Algoritmo de Penrose J(x,y) es un algoritmo que encapsula todos los procedimientos correctos que pueden servir para establecer que la función com- putable fx(y) no está definida cuando computa el argumento y  (x)=J(x,x)

Conducta de  (x) 1. Si  (x)=1, entonces se puede afirmar que fx(x) no está definida 2. La demostración establecida entre 1 y 7 constituye uno de los recursos que  (x) -J(x,x)- reconoce

Definiendo la representabilidad 1. fi(x)=k   (x)=k 2. En general, no es posible suponer que para cualquier entero k si  (x) está definido, fi(x) también lo esté

Nuevo Argumento de Penrose (NAP) 1. Si  (x)=1, entonces fi(x) está indefinida 2.  (x) es representable en A 3. fi(x) representa a  (x) en A 4. fi(i)=1 5.  (i)=1 6. fi(i) no está definida 7. ¬(fi(i)=1)

1. Si  (x)=1, entonces fx(x) está indefinida 2.  (x) es representable en A 3. fi(x) representa a  (x) en A 4. fi(i)=1 5.  (i)=1 6. fi(i) no está definida 7. ¬(fi(i)=1) 8. fi(i) no está definida 9.  (i)=1 10. fi(i)   (i) 11.  (x) no es representable en A

Análisis de la situación 1. J(x,y) posee una definición independiente y es un algoritmo 2. Existe una circunstacia en la que a) La función fi(x) que representa  (x) prosigue sus cál- culos sin término aparente, mientras que b)  (x) concluye estableciendo que  (i)=1 al tener acce- so al hecho cierto descrito en a)

Por tanto, 3. J(x,y) no es representable en A (computable)

Núcleo del argumento 1. J(x,y) posee una definición suficientemente precisa como para hacer de él un algoritmo, al tiempo que 2. Es sufientemente plástica como para acceder a demostracio- nes a las que fi(x) no tiene acceso

Restaurando el equilibrio R ectificación del NAP

¿Cuántos son todos? Opción I: “Todos” posee una interpretación rígida. Hace referencia a cualesquiera pruebas existentes. Opción II: “Todos” posee una interpretación vaga. La entidad que cae bajo su alcance admite ciertas dosis de cambio e inde- terminación.

Opción I: (un cierto dilema) 1. El programa al que responde la función fi(x) también tiene acceso a cualesquiera procedimientos de prueba con lo que la función adoptará en el caso relevante los mismos valores que el algoritmo al que representa. 2. El programa al que responde la función sólo accede a los métodos conocidos en un cierto momento. Pero en- tonces fi(x) apenas guarda relación con  (x).

Opción II: 1. Una interpretación vaga del cuantor que interviene en la definición del algoritmo J(x,y) no supone que este carezca por completo de criterios de identidad. 2. Y tampoco implica que J(x,y) y sus derivados -  (x)- no puedan estar dados de una vez por todas.

Pero en tal caso, 3. Debemos aceptar la existencia de demostraciones que no caen bajo el alcance del cuantor universal, es decir, que no están disponibles para J(x,y). Por ejemplo, Aquellas que dependen para su construcción del supuesto de que  (x) está dado de una vez por todas.

Sucede entonces que 4. La justificación que lleva a introducir  (i)=1 en el NAP es, precisamente, de ese tipo. Por tanto, 5. Las condiciones (criterios) de identidad de J(x,y) han sido violadas.

1. Si  (x)=1, entonces fi(x) está indefinida 2.  (x) es representable en A 3. fi(x) representa a  (x) en A 4. fi(i)=1 5.  (i)=1 6. fi(i) no está definida 7. ¬(fi(i)=1) 8. fi(i) no está definida 9.  (i)=1 10. fi(i)   (i) Reconstrucción de la prueba del NAP 11.  (x) no es representable en A

1. Si  (x)=1, entonces fi(x) está indefinida 2.  (x) es representable en A 3. fi(x) representa a  (x) en A 4. fi(i)=1 5.  (i)=1 6. fi(i) no está definida 7. ¬(fi(i)=1) 8. fi(i) no está definida 9.  *(i)=

¿De qué hablamos realmente? 1. De la capacidad que una entidad bien definida tiene para experimentar cambios sin violar sus criterios de identidad. 2. De la capacidad que ciertas entidades tienen para re- ferirse a sí mismas en el curso de sus operaciones.