RAZONES Y PROPORCIONES LIC. JEISSON GUSTIN

ANALICEMOS LAS SITUACIONES LENGUAJE COTIDIANO LENGUAJE MATEMÁTICO En el partido de baloncesto el marcador quedó 32 a 34 32 : 34 El pediatra formula a un bebé dos gotas de medicamento por cada kilogramo de peso 2 𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠 1 𝑘𝑔 Un lector promedio lee 500 palabras en 2 minutos 500 palabras 2 minutos Como se puede observar en cada situación existe una relación entre las magnitudes y cada relación se puede expresar mediante un cociente. Al cociente que utilizamos para comparar dos magnitudes o cantidades lo llamamos razón.

RAZÓN: Una razón es una comparación entre dos o más cantidades RAZÓN: Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como: El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente. El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón

Ejemplo 1 En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres? La relación entre el numero de mujeres y el número de hombres es de  "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 “ El antecedente es 10 y el consecuente 18 Y el valor de la razón es 10/18 = 0,555… Ejemplo 2 La velocidad de un auto móvil se puede expresar como la razón entre la distancia y el tiempo 𝑣= 𝑥 𝑡

Razones equivalentes 5 7 = 10 14 = 15 21 = 20 28 =… Son razones equivalentes aquellas que se pueden expresar como fracciones equivalentes, por ejemplo: 2 es a 4 es equivalente a 1 es a 2 2 4 = 1 2 =… 5 7 = 10 14 = 15 21 = 20 28 =…

proporciones Una proporción es la igualdad de dos expresiones que representan la misma razón

Propiedades de las proporciones Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir: Ejemplo: Si tenemos la proporción: y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda: 3  • 20  =  4 • 15, es decir, 60 = 60 Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades son proporción

si 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 entonces 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 𝑦 𝑑 𝑏 = 𝑐 𝑎 Propiedad 2: al intercambiar los medios o los extremos entre sí, se obtienen nuevas proporciones. si 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 entonces 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 𝑦 𝑑 𝑏 = 𝑐 𝑎 Ejemplo: si 5 30 = 8 48 entonces 48 30 = 8 5 𝑦 5 8 = 30 48 Propiedad 3: en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

Problemas de razones 2 25 = 40 𝑥 Problema 1: en un colegio hay dos computadores por cada veinticinco estudiantes. Si hay 40 computadores, ¿cuántos estudiantes hay en el colegio? Solución: podemos expresar el problema como una proporción 2 25 = 40 𝑥 donde x es el número de estudiantes, ahora aplicamos la propiedad fundamental 2.x = 40 . 25 2 x = 1000 X = 500 Por lo tanto decimos que hay 500 estudiantes en el colegio

𝑛𝑖ñ𝑜𝑠+𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 = 4+5 5 36 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 = 9 5 Problema 2: en un salón de clases la razón entre niños y niñas es de 4 a 5. si en total hay 36 estudiantes, ¿cuántos niños y niñas hay? Solución: podemos expresar el problema como una proporción 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 = 4 5 Conocemos que la suma de niños y niñas es 36, por lo cual podemos utilizar la propiedad 3 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠+𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 = 4+5 5 36 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 = 9 5 Aplicamos propiedad fundamental y resolvemos 5 . 36 = 9 . niñas 9 . Niñas = 180 Niñas = 180/9 =20 Por lo tanto decimos que en el salón hay 20 niñas y 16 niños

Problema 3: la edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades. Solución: Si las edades son a y b Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón: Ahora volvemos a los datos del problema: Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

hora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto : Reemplazando los datos en la ecuación tenemos Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :