Estabilidad en Frecuencia J. Mauricio López R. División de Tiempo y Frecuencia Centro Nacional de Metrología, CENAM Mauricio.lopez@cenam.mx

Contenido 1. Introducción 2. Mediciones en el dominio del tiempo 3. Varianza de Allan 4. Barras de Incertidumbre 5. Ejemplos

Introducción

VARIANZA ESTÁNDAR vs VARIANZA DE ALLAN El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito. Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en frecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise) introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y en series de tiempo.

Mediciones en el dominio del tiempo En la calibración de osciladores es común realizar mediciones de frecuencia o de diferencia de fase.

Método de medición directa de frecuencia Mediciones directas de frecuencia Interfase de Comunicación Existen varios métodos de medición de frecuencia. El esquema representa las conexiones del método de medición directa de frecuencia. Primero necesitamos el instrumento de medición (Frecuencímetro, Contador de Intervalos de Tiempo) y obviamente el instrumento bajo calibración del que obtenemos la frecuencia a calibrar. Necesitamos también el Patrón de Referencia con su frecuencia patrón. Y lo más importante Un sistema de adquisición de datos automático el cual permita tomar una gran cantidad de mediciones. Frecuencia Patrón para amarrar en frecuencia al contador Frecuencia Bajo Calibración Método de medición directa de frecuencia

Mediciones directas de frecuencia Frecuencímetro 5400587365 5 MHz ó 10 MHz Oscilador bajo calibración Patrón de referencia PC (adquisición y almacenamiento de datos)

Mediciones directas de diferencia de Fase Interfase de Comunicación Frecuencia Patrón para amarrar en frecuencia al contador Contador de Intervalos de Tiempo De la misma forma que en frecuencia existen varios métodos de medición de diferencia de fase. El esquema representa las conexiones del método de medición de diferencia de fase por el método directo. Para esto necesitamos el instrumento de medición (Contador de Intervalos de Tiempo) y obviamente el instrumento bajo calibración del que obtenemos la frecuencia a calibrar. Necesitamos también el Patrón de Referencia con su frecuencia patrón. Y otra vez, lo más importante Un sistema de adquisición de datos automático el cual permita tomar una gran cantidad de mediciones. Frecuencia Bajo Calibración Frecuencia Patrón para la calibración Método de medición de diferencia de fase

Mediciones con mezcla de frecuencia f0 = 5 MHz ó 10 MHz Patrón de referencia Frecuencímetro Amplificador 5400587365 Mezclador de frecuencias Filtro pasa bajos Oscilador bajo calibración f1 = f - f0 =  f = f0 -  PC (adquisición y almacenamiento de datos)

Mediciones con doble mezcla de frecuencia Patrón de referencia PC (adquisición y almacenamiento de datos) f0 = 5 MHz ó 10 MHz Oscilador bajo calibración Mezclador de frecuencias fC = f0 -  f1 = f -f0 =  Filtro pasa bajos Amplificador Contador de intervalos de tiempo f  f0 f2  f –fC   Oscilador auxiliar

Algunos ejemplos de mediciones Mediciones de Diferencia de Fase

Primer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase

Segundo ejemplo: mediciones de diferencia de fase

Tercer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase

Algunos ejemplos de mediciones Mediciones de Frecuencia

Primer ejemplo: mediciones de frecuencia

Segundo ejemplo: mediciones de frecuencia

Tercer ejemplo: mediciones de frecuencia

Las señales eléctricas no son puras

Ruido en frecuencia y y() 0.1 s tiempo de promediación 3 X 10-11 -3 X 10-11 100 s 3 X 10-11 1.0 s tiempo de promediación 100 s -3 X 10-11 y() 10-10 10-11 10-12 0.01 0.1 1 10 100 Tiempo de promediación, , s 4-23

Ruido en frecuencia Dependencia temporal Sz(f) = hf  = 0  = -1  = -2  = -3 nombre White Flicker Random walk Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud. 4-26

Varianza de Allan

La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración. Normalmente cuando se calcula por medios estadísticos el promedio de una muestra M, se calcula también la dispersión de los datos alrededor de tal promedio utilizando generalmente la varianza estándar. En el cálculo de la varianza se espera que en la medida que se incluyan más datos en la estimación de la dispersión se pueda entonces aproximar el cálculo a la verdadera medía y varianza tanto como se quiera. A pesar de que esto es correcto, no es válido para mediciones de Tiempo y Frecuencia

Concepto de la Varianza de Allan Supongamos que tenemos estas mediciones de diferencia de fase, y 3 datos separados entre sí un tiempo TAU, X1, X2 y X3. La varianza de Allan puede ser escrita en términos de desviaciones fraccionales de frecuencia frecuencias: Donde Delta y’i es igual a esto: Y y’i es esto: O en términos de las diferencias de fase: Con Delta2xi=: Frecuencia Fase

Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia  donde: Varianza de Allan Número de datos espaciados t0 Tiempo de observación = mt0 i-ésima medición de fase =2n cálculos posibles

Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase donde: Varianza de Allan i-ésima medición de fase Tau cero =Tiempo de promediación = cadencia de las mediciones Número de datos espaciados t0 Tiempo de observación = mt0 =2n cálculos posibles

Barras de Incertidumbre

Para df < 100 Distribución c2 donde: Distribución X2 La sigma y tiene una distribución Chi Square de acuerdo a esta ecuación. Estimado de la Varianza de Allan Número de grados de libertad Varianza de Allan verdadera

Barras de incertidumbre Barra Inferior Barra Superior  Tablas X2

Tabla X2

Barras de incertidumbre Para df > 100

Barras de incertidumbre Para df > 100 Barra Superior Barra Inferior Para el caso en que los grados de libertad son mayores de 100, la distribución de probabilidades de sigma se comporta como una distribución normal donde 1,96 corresponde al área bajo la curva para un nivel de confianza igual a 95% Z= 1,96 = raiz(2x2) – raiz(2df-1) = x-mu/sigma donde:

Número de Grados de Libertad White Phase Modulation Flicker Phase Modulation White Phase Modulation. Se asocia principalmente a efectos ocurridos en el mecanismo de resonancia. Es importante su caracterización en patrones primarios de frecuencia, en los cuales puede ser considerablemente disminuido al incrementar la intensidad del haz de átomos de cesio. Fliker Phase Modulation. Se asocia principalmente a efectos ocurridos en la electrónica de los osciladores. Este tipo de ruido es común en osciladores de alta calidad ya que para mantener una amplitud constante se usan amplificadores a la salida de los osciladores. Puede ser introducido también en los multiplicadores de frecuencia. White Frequency Modulation. Es común en los patrones de frecuencia pasivos. Estos contienen un resonador esclavo al resonador atómico cuya frecuencia es constantemente corregida por las señales de máxima probabilidad de transición atómica. White Frquency Modulation NBS Technical note 679

Número de Grados de Libertad Flicker Frequency Modulation Fliker Frequency Modulation. Se asocia principalmente a fluctuaciones en condiciones ambientales tales como temperatura y humedad. Random Walk Frequency Modulation. Fluctuaciones en condiciones ambientales suelen provocar la presencia de este ruido en los osciladores, por ejemplo las estaciones del año se asocian a este tipo de ruido. Random-Walk Frequency Modulation NBS Technical note 679

Dependencia temporal de y() 4-25 Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio. -1 y() -1 -12 12 0 Tipo de ruido: White phase Flicker phase White freq. Flicker freq. Random walk freq. En la figura se muestra una gráfica típica de estabilidad en frecuencia donde se observa la dependencia temporal de la varianza de Allan respecto al tiempo de promedicación TAU. AntiLog(0)=1 AntiLog(1)=10 AntiLog(5)=100 000

Ejemplos de cálculo de varianza de Allan

Comparación de la estabilidad en frecuencia entre osciladores de Cuarzo, Cesio, Rubidio e Hidrógeno -9 Cuarzo -10 -11 Rubidio Log (y()) -12 -13 Cesio -14 -15 Maser de Hidrógeno -16 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 Log (), segundos 1 día 1 mes

Varianza Modificada de Allan Consideremos los siguientes conjuntos de mediciones   Definimos las primeras diferencias como . Denotamos a los respectivos promedios como donde i = 1, 2, 3, ..., N-2n+1

Las segundas diferencias son definidas de la siguiente manera: Con i = 1, 2, 3, … , N-3n+1 La varianza Modificada de Allan se define como: donde

La varianza modificada de Allan puede ser escrita en términos de las mediciones de diferencia de fase de la siguiente forma: Nótese que para n=1 la varianza modificada de Allan coincide con la varianza de Allan.

Mody2 1)  = -3 Ramdom walk frequency modulation 2)  = -2 Flicker frequency modulation 3)  = -1 White frequency modulation 4)  = 0 Flicker phase modulation 5)  = +1 White phase modulation

Dependencia de la ModAVAR del tiempo de promediación