Razón entre dos números Proporcionalidad Razón entre dos números Razón entre dos números La razón entre dos números a y b, es el cociente de ambos números y expresa la relación que hay entre ellos. Razón inversa Dados dos números cualesquiera, a y b, la razón que expresa el número de veces que b contiene a a es la razón inversa de la que expresa el número de veces que a contiene a b. Igualdad de razones Dos razones son iguales si expresan la misma relación entre sus términos, es decir, si su expresión decimal es la misma. 1

Constante de proporcionalidad Proporciones Proporción Propiedades Entre las razones que forman una proporción se cumple en todos los casos que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. La proporción anterior se lee «a es a b como c es a d». Constante de proporcionalidad Se denomina constante de proporcionalidad de una proporción a la expresión decimal de cualquiera de las razones que la forman, ya que todas tienen la misma expresión decimal. Si en una proporción se intercambian los medios o los extremos entre sí, las nuevas razones también forman proporción. Si dos razones son iguales, la razón constituida por la suma de los términos superiores y la de los términos inferiores forma proporción con las razones de partida. 2

Proporcionalidad directa Dos magnitudes, M y M’, son magnitudes directamente proporcionales si el cociente entre cualquier par de valores correspondientes es siempre el mismo. Ese cociente se llama constante de proporcionalidad directa. Métodos para la resolución de problemas Por reducción a la unidad. Se trata de averiguar, en primer lugar, la constante de proporcionalidad directa. Con este dato, que indica el valor correspondiente a una unidad de una de las magnitudes, se puede averiguar el valor que le corresponde a cualquier otro valor. Con una regla de tres. Consiste en plantear una proporción entre la razón de dos cantidades de una de las magnitudes y la razón de sus dos valores correspondientes en la otra magnitud. 3

Proporcionalidad inversa Dos magnitudes, M y M’, son magnitudes inversamente proporcionales si el producto de cualquier par de valores correspondientes es siempre el mismo. Ese producto se llama constante de proporcionalidad inversa. Métodos para la resolución de problemas Por reducción a la unidad. Primero se averigua la constante de proporcionalidad. Con este dato, que indica el valor que le corresponde a una unidad de una de las dos magnitudes, se puede averiguar el correspondiente a cualquier otro valor. Con una regla de tres. Consiste en plantear una proporción entre la razón de dos cantidades de una de las dos magnitudes y la razón inversa de sus dos valores correspondientes en la otra magnitud. 4

Proporcionalidad compuesta Proporcionalidad compuesta (I) Proporcionalidad compuesta Son problemas de proporcionalidad compuesta aquellos en los que intervienen más de dos magnitudes relacionadas proporcionalmente. Para resolver este tipo de problemas: Se identifican las magnitudes que intervienen y se presentan los datos de forma ordenada en una regla de tres compuesta. Se analiza qué tipo de proporcionalidad hay entre la magnitud de la incógnita y cada una de las otras magnitudes. Se resuelve por reducción a la unidad o planteando una proporción. 5

Problemas de proporcionalidad compuesta directa-directa Proporcionalidad compuesta (II) Problemas de proporcionalidad compuesta directa-directa 6

Problemas de proporcionalidad compuesta directa-inversa Proporcionalidad compuesta (III) Problemas de proporcionalidad compuesta directa-inversa 7

Porcentaje o tanto por ciento Proporcionalidad Aplicaciones de la proporcionalidad (I) Para averiguar el resultado de aumentar en un t % una cantidad, se calcula el (100 + t) % de dicha cantidad. Porcentaje o tanto por ciento Un porcentaje o tanto por ciento es una razón que indica la cantidad de una magnitud con respecto a 100 unidades. Se representa con el símbolo %. Para averiguar el resultado de disminuir en un t % una cantidad, se calcula el (100 – t) % de dicha cantidad. Para calcular el t % de una cantidad, se multiplica la expresión decimal de ese porcentaje por la cantidad dada. Para calcular el t % aplicado a una cantidad inicial, conociendo la cantidad final se procede como sigue: Se calcula el aumento o disminución de la cantidad inicial. Se averigua qué porcentaje de la cantidad inicial representa el resultado obtenido en el apartado anterior Si se conoce el resultado de aplicar un determinado tanto por ciento a una cantidad desconocida, para averiguar de qué cantidad inicial se trata, se divide dicho resultado entre la expresión decimal del porcentaje aplicado. 8

9 Proporcionalidad Aplicaciones de la proporcionalidad (II) Intereses Escalas La escala de un plano, maqueta o cualquier otra reproducción de un objeto es la razón entre 1 unidad de medida en la reproducción y la medida, a, que le corresponde en la realidad en esa misma unidad. Se expresa de la forma 1:a. Interés Simple. Los intereses producidos son directamente proporcionales al capital inicial, al tipo de interés y al tiempo transcurrido. Los intereses producidos por una capital, C, a un r % anual, en t años, se calculan mediante la formula: Si se reparte una cantidad, N, en tres partes directamente proporcionales a a, b y c, las cantidades x, y y z, que corresponden, respectivamente, a cada una de esas partes, verifican la siguiente proporción: De la expresión que permite hallar los intereses se deducen las expresiones para calcular el capital inicial, el rédito o el tiempo en años. 9