PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DÍA 07 * 1º BAD CS

Sucesiones de números reales SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. Cada uno de los números ordenados se llama término. El término general o genérico nos señala la ley de formación. Las sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Los intereses bancarios, las anualidades de capitalización o las mensualidades de amortización de préstamos son progresiones, bien aritméticas o bien, la mayoría, geométricas.

Progresiones geométricas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . an = a1 , a2 , a3 , a4 , …, ak , …, an-1 , an Deducimos la fórmula principal: a1 = a1 a2 = a1 . r a3 = a2 . r = a1 . r2 a4 = a3 . r = a1 . r3 ……………… an = an-1 . r = a1 . rn - 1 Fórmula: an = a1 . rn - 1 Y de ella despejamos a1 , n o d en caso necesario.

Suma de términos en P.G. a1 – an..r Demostramos la fórmula de la suma: S = a1 + a2 + a3 + a4 , …, + ak , …, + an-1 , + an Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a1. r + a2.r + a3.r + , …, an-1 ,.r + an.r Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a1 ‑ an . r a1 – an..r S.(1 ‑ r ) = a1 ‑ an . r  S = -------------- 1 - r

EJEMPLO_1 En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 7-1 6 a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320 7 1 12-1 11 a = a . 2 = 5 . 2 12 1 La PG sería: {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … n

EJEMPLO_2 En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. Hallar la razón. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 5-1 4 4 4 a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5 5 1 La PG sería: {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … n

EJEMPLO_3 En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. Hallar el primer término. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 9 -1 8 7 -7 a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5 1 9 La PG sería: -7 - 6 -5 {a } = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , … n

Ejemplo_4 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 64-1 63 Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 63 64 19 S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10

Ejemplo_5 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 12-1 11 Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 11 12 S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405

Ejemplo_6 Durante 5 años depositamos 1.000 € al mes, al 5 % anual. Hallar el capital obtenido al cabo de los cinco años. La fórmula es: Cf = Co (1+ r/1200) m El 1º depósito: Cf1 = 1.000.(1+ 5/1200)60 = 1000.1,28335 = 1.283,35 El 60º depósito: Cf60 = 1.000.(1+ 5/1200) = 1.000.1,00417 = 1.004,17 Sumemos las cantidades para hallar el capital final Veámoslo por la suma de las progresiones geométricas: a1 = 1004,17 , an = 1283,35 y r = 1,004167 a1 – an .r 1004,17 – 1283,35 - 279,18 S = ------------ = --------------------------- = ----------------- = 67.000 € 1 – r 1 – 1,004167 - 0,004167 Hemos invertido 60.000 € y vemos que el beneficio ha sido de 7.000 €