3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. Clase 1 - Gonzalo Perera 3. Modelos aleatorios, espacios muestrales, probabilidad. *Lanzamiento de un dado equilibrado:  “Probabilidad de que salga un cinco=1/6=0.1666666......”  n= número de lanzamientos (independientes) N(n)= veces que sale el 5 p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n n N(n) p(n) 10 3 0.30 100 15 0.15 1000 167 0.167 10000 1665 0.1665 100000 16661 0.16661 Para n tendiendo a infinito, p(n) se aproxima a 1/6. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera Hola

= conjunto de todos los resultados posibles. NOTA:Este es el significado de la PROBABILIDAD pero como definición no es consistente por ser experimental y depender de una infinidad de intentos, lo cual no es realizable). Un experimento aleatorio es aquel que por su complejidad y variabilidad no aspiraremos a predecir “caso por caso”, sino solamente en frecuencias. Dado un experimento aleatorio,   = conjunto de todos los resultados posibles. Ejemplo: en el lanzamiento del dado,  ={1,2,3,4,5,6}     Para cada resultado posible  , su probabilidad, p() representa la frecuencia con que ocurre el resultado  en un gran número de intentos independientes. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Representación conjuntista: Un suceso o evento A es un subconjunto de .    Ejemplo: en el lanzamiento del dado,   A= “sale un resultado par”= {2,4,6}. Representación conjuntista: Si A y B son sucesos “Ocurren A y B” = A  B “Ocurre A o (incluyente) B” = A B “No ocurre A” = Ac “Ocurre algo”(suceso cierto) =  “No ocurre nada” (suceso imposible) = Ø P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Si  es finito y A un suceso, la probabilidad de A es   Algunas propiedades de la Probabilidad: 1) P( )=1 P(AB)=P(A)+P(B) si A y B incompatibles (AB = Ø) 3) P(Ac)=1-P(A) 4) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A)= A p() P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja.......... ¿Qué es la inferencia estadística, qué tiene que ver con las probabilidades? Ejemplo (de alto contenido dramático): En un depósito sucio, bastión de la Ciudad Vieja.......... n= número de lanzamientos (independientes) N(n)= veces que sale el 5 p(n)= frecuencia del 5= N(n)/n n N(n) p(n) 10 1 0.10 100 23 0.23 1000 258 0.258 10000 2497 0.2497 100000 25006 0.25006 P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Conclusión: Rajemos!!! Mmmmmm…….   Mmmmmm…….   No parece sensato suponer la hipótesis H0: p(5)=1/6 (del modelo equiprobable) ESTE FUE UN PRIMER EJEMPLO DE INFERENCIA ESTADISTICA Conclusión: Rajemos!!! P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Inferencia Estadística: cómo funca????? Modelo Estadística Cálculo de Probabilidades Datos empíricos Predicciones (Frecuencias) KOLMOGOROV: ¿COMO HACER TEORIA, CALCULO Y COMPARACIONES TOTALMENTE RIGUROSOS? P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Axiomática de Kolmogorov y Continuidad de la Probabilidad Hoja de ruta. Algebras de Boole y Sigma-álgebras. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas y comparación con AF. Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK) Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF Explicación del término “Continuidad” en el TCP P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Algebras de Boole y Sigma-álgebras.  En un conjunto  cualquiera, una familia A de subconjuntos de  se dice un ALGEBRA DE BOOLE en  si cumple que:   A Si B  A, entonces Bc  A Si B  A y C  A , entonces BC  A P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Hay dos ejemplos triviales, que son el álgebra más grande P( )={ todos los subconjuntos de } ( llamado “conjunto de partes de ”, o “conjunto potencia de ”) y el algebra más chica T( )={ , Ø} Un ejemplo no trivial: = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} (Para comprobarlo, recordar De Morgan (B  C) c = Bc  Cc ) Otro ejemplo no trivial: = Números reales A ={ B: B es numerable o Bc es numerable} P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

{n  N} Bn  A De a) y b) resulta que Ø  A En un conjunto  cualquiera, una familia A de subconjuntos de  se dice una ALGEBRA (SIGMA ALGEBRA ) en  si cumple que:   A Si B  A, entonces Bc  A Si para todo n natural Bn  A, entonces {n  N} Bn  A De a) y b) resulta que Ø  A De la observación anterior aplicada a c)resulta que: TODA SIGMA ALGEBRA ES UN ALGEBRA DE BOOLE P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Un ejemplo de un ALGEBRA DE BOOLE que NO ES una SIGMA ALGEBRA. = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} Ya vimos que es álgebra de Boole. Si Bn={2n} para todo natural n, la unión de todos los Bn nos da el conjunto de los pares, que no es finito, y cuyo complemento, los impares, tampoco lo es, por lo cual no pertenece a la clase A. Por ende la clase A NO ES UNA SIGMA ALGEBRA P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

2. Axiomática Finita (AF). Propiedades básicas  Una PROBABILIDAD FINITA ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA FINITA) en    es una función con dominio en A álgebra de Boole en    que cumple los siguientes axiomas   AF1) P(B) ≥ 0 para todo B  A AF2) P( )=1 AF3) P(AB)=P(A)+P(B) si A , B  A y son incompatibles (AB = Ø) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Si  es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión Ejemplos. Si  es el conjunto de los naturales y pn es una sucesión de números no-negativos cuya serie converge a 1, A es el conjunto de partes de  para todo B contenido en  se define P(B)=∑ {n  B} pn, entonces P cumple AF. 2) Si = Números naturales, A ={ B: B es finito o Bc es finito} y se define P(B)=0 si B es finito y P(B)=1 si Bc es finito entonces AF1) y AF2) son obvias. Para AF3) observar que si B y C pertenecen a A y son incompatibles, entonces no puede ser cierto a la vez que Bc es finito y que Cc es finito , pues la incompatibilidad y De Morgan implican que Bc  Cc = . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que B es finito. AF3) se verifica discutiendo si C es finito o de complemento finito. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3) P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior) Propiedades básicas. P(Bc )= 1- P(B) (aplicar AF3) P(Ø )=0 (AF2 y punto anterior) Si B,C son elementos de A y B  C y definimos C-B= C Bc entonces P(C-B)=P(C)-P(B) y por ende P(B)≤ P(C) (Poner C=B [C Bc ] , aplicar AF1 y AF3) 4) ) Fórmula de Inclusión-Exclusión. Si B,C son elementos de A entonces: P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC) (Poner: C=[CB] [C Bc ], BC=B [C Bc ] y usar AF3) 5) Si n natural y B1,….,Bn son elementos de A que son incompatibles (la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces P({1≤i≤n} Bi )= ∑ {1≤i≤n} P(Bi ) (AF3 e inducción completa en n) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

3. Axiomática de Kolmogorov (AK). Propiedades básicas Una PROBABILIDAD ( o PROBABILIDAD SEGUN LA AXIOMATICA DE KOLMOGOROV) en    es una función con dominio en A SIGMA-ALGEBRA en    que cumple los siguientes axiomas: AK1) P(B) ≥ 0 para todo B  A AK2) P( )=1   AK3) Si para todo n natural Bn  A y la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía) entonces P({n  N} Bn )= ∑ {n  N} P(Bn ) (esto implica la convergencia de la serie a la derecha) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Propiedades básicas. P(Ø )=0 (poner Bn=Ø para todo n en AK3, son incompatibles y la serie divergería si no fuera P(Ø )=0 ) AK Implica AF: una sigma-álgebra es álgebra de Boole, AK1 y AK2 coinciden con AF1 y AF2 y para probar AF3, usar AK3 con B1=B, B2=C y Bn=Ø para todo n ≥ 3 y aplicar el punto anterior. Se aplican entonces las propiedades básicas vistas en el slide 8 a las Probabilidades según Kolmogorov, y cada vez que digamos “Probabilidad” nos referiremos a la axiomática de Kolmogorov. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO CUAN DIFERENTES SON AF Y AK. Como no toda álgebra de Boole es sigma-álgebra, una probabilidad según AF no tiene por qué serlo según AK, pero es razonable ahondar en la diferencias entre ambos axiomáticas y preguntarse: ¿ Qué tan diferentes son AF y AK? ¿ No será que, por ejemplo, AF3) y AK3) son en realidad la misma propiedad? La lectura apresurada de 5) del slide 8 a veces nos hace responder “SI” a la segunda pregunta, por ejemplo, PERO LA RESPUESTA CORRECTA ES “NO”. DAREMOS DOS EJEMPLOS MOSTRANDO CUAN DIFERENTES SON AF Y AK. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es más exigente que AF3) Primero:Ejemplo de P que no cumple AF en una -álgebra A, aunque cumple AF en un álgebra de Boole A* más pequeña que A (“Cuanto más grande el dominio, más cuesta conservar una determinada propiedad”) Observaremos además que P no cumple AK ni siquiera en A*. Ergo, AK3) y AF3) NO son lo mismo: AK3)es más exigente que AF3) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Sean = N, A* ={ B: B es finito o Bc es finito}. Como ya vimos en el slide 5 , A* es álgebra de Boole y no -álgebra. Dejamos como ejercicio verificar que la menor -álgebra A que contiene a A* (lo que se llama “-álgebra generada por A* ”) es el conjunto partes de N, A=P( N). Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Como vimos en el slide 7, sobre A* , P cumple AF. Pero no en A: consideremos B el conjunto de los pares y C el de los impares, que son incompatibles. Como Bc es C, que es infinito, y viceversa, P(B)=P(C)=0. Si P cumpliera AF en A entonces: 1=P(N)=P(BC)=P(B)+P(C)=0+0=0, lo cual es ABSURDO. Para todo n natural tomemos Bn={n}, que son elementos de A* , incompatibles entre sí. Observando que N={n  N} Bn, que es un elemento de A* , y que 1=P(N)=P({n  N} Bn), mientras que ∑ {n  N} P(Bn ) =0, ya que P(Bn ) =0 para todo n, se concluye que P no cumple AK3) ni siquiera en A* . P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Segundo: Ejemplo de P que verifica AF en una -álgebra pero que no verifica AK. Consideremos =[0,1 ], A=P( ). El gran matemático polaco S. Banach construyó una P definida en la -álgebra A que es muy “natural” como modelo de sorteo al azar pues a un intervalo le asigna como probabilidad su longitud. Banach mostró que dicha P CUMPLE AF pero NO CUMPLE AK. ¡Asi que la “longitud” es el ejemplo en que AK no vale y AF si! Naturalmente, la definición rigurosa de la “longitud” para un conjunto arbitrario asi como la verificacion de que vale AF y no AK, la referimos a libro como el de R.M. Dudley o P. Halmos (ver texto) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Break: ARIEL ROCHE LOWCZY P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

4.Teorema de Continuidad de la Probabilidad (TCP) (Bajo AK) Si P una Probabilidad (por última vez remarcamos que en el sentido AK) en    definida sobre la -álgebra A y Bn es un elemento de A para todo n natural, entonces: Si Bn Bn+1 para todo n natural, entonces P({n  N} Bn)= lim n P(Bn). b) Si Bn+1  Bn para todo n natural, entonces P({n  N} Bn)= lim n P(Bn). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2 Esquema de la prueba: Tomar C1= B1 y Cn= Bn – Bn-1 para todo n natural de 2 en adelante (anillos). Estos conjuntos son incompatibles, su unión es igual a la de los B´s y usando la propiedad 3) del slide 8 resulta que la serie de sus probabilidades es telescópica. b) Se reduce al caso anterior tomando complemento. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

{n  N} Bn=N y P(N)=1. 5.Ejemplo de que el TCP no es cierto bajo AF Sean = N, A*={ B: B es finito o Bc es finito}. Definimos P(B)=1 si Bc es finito y 0 en cualquier otro caso. Ya vimos que P cumple AF. Si Bn={0,1,…,n}, tenemos una sucesión creciente de sucesos, con P(Bn)=0, por lo que su límite es 0, mientras que {n  N} Bn=N y P(N)=1. El ejemplo de Banach de “longitud” aporta un caso de AF en una s-álgebra, y donde no vale TCP. P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

De hecho puede probarse el siguiente teorema: Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si cumple el teorema de continuidad. O incluso el siguiente teorema, aún más elocuente: Si P cumple AF sobre una -álgebra, entonces cumple AK si y sólo si es “continua en el vacío” ( esto es, para toda sucesión decreciente de sucesos cuya intersección es Ø, el límite de las P de los sucesos es 0). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

6. Explicación del término “Continuidad” en el TCP Inspirados en la definición de lim sup y lim inf para sucesiones reales y de lim cuando lim inf = lim sup ( siempre se tiene que lim inf ≤ lim sup) se definen el lim inf y el lim sup de sucesiones de conjuntos y el lim inf siempre está contenido en el lim sup. Cuando el lim inf y el lim sup coinciden se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite. Si Bn es una sucesión cualquiera de conjuntos, el TCP permite probar que: P( lim inf Bn ) ≤lim inf P(Bn ) (llamado a menudo “Lema de Fatou”) P( lim sup Bn ) ≥lim sup P(Bn ) P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera

Si existe lim Bn se concluye que existe lim P(Bn ) y que P(lim Bn )= lim P(Bn ) Como la propiedad que caracteriza la continuidad de una función en términos de sucesiones es “la intercambiabilidad” de la aplicación de la función y el pasaje al límite, el resultado anterior indica que la Probabilidad, como función definida sobre los conjuntos, es una función continua (gracias a Kolmogorov). P y E 2014 Clase 2 Gonzalo Perera