Conferencia 3. Teoría Electromagnética Parte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas Tomado del material preparado por el Dr. Ricardo Mediavilla para el curso TEEL 4051 y adaptado por el Prof. Jaime José Laracuente-Díaz para el curso TEEL 2013
Onda Sinusoidal En Un Medio Sin Pérdidas Tema: Onda Sinusoidal En Un Medio Sin Pérdidas
Medio sin pérdidas Un medio es lossless o sin pérdidas si la amplitud de la onda no es atenuada cuando ésta se propaga a través del medio. En la realidad, un medio sin pérdidas no existe. Sin embargo, si las pérdidas por unidad de propagación son pequeñas, es posible, como aproximación razonable, descartar dichas pérdidas en nuestro análisis. Además, el caso real con pérdidas es aún más complejo de analizar que el caso sin pérdidas.
Ejemplo de descripción matemática de onda sinusoidal en medio sin pérdidas: y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2 π x/λ + φ0 ) = A cos φ(x,t) A es la amplitud de la onda. T es el período de la onda. λ es el largo de onda de la onda. es la fase de referencia = constante. (x,t) es la fase de la onda Nota: Este curso es de grado asociado, así que no trabajamos la matemática de este tipo de función que depende de dos variables.
Onda sinusoidal en medio sin pérdidas La siguientes figuras muestran la gráfica de y(x,t) para el caso en que φ0 = 0. Figura (a) muestra el caso en que t = 0, x variable Figura (b) muestra el caso en que x = 0, t variable
Onda sinusoidal en medio sin pérdidas De las 2 anteriores gráficas podemos observar que a lo largo del eje de x la onda se repite cada λ metros, y que a lo largo del eje de t la onda se repite cada T segundos. λ es el largo de onda. T es el período de la onda.
Onda sinusoidal en medio sin pérdidas Aquí la onda está en su posición y tiempo inicial. Aquí la onda ya se desplazo y han transcurrido T/4 segundos. Aquí la onda se ha desplazado mas y han transcurrido T/2 segundos.
Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida Note que el punto P se desplazo desde λ hasta 3λ/2 en T/2 segundos. Por lo tanto recordando que velocidad es distancia entre tiempo (v=d/t) y luego de utilizar calculo diferencial en la expresión de y(x,t) tendremos la velocidad de propagacion de la onda definida como:
Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida Recuerde su curso de electricidad que: Por lo tanto la velocidad de fase también se define como:
Ejemplo Para una velocidad de fase constante, si λ aumenta (como en el caso del instrumento bajo) entonces f disminuye. Si λ disminuye (como en el caso del violín), entonces f aumenta.
Ecuación de una onda sinusoidal La ecuación de una onda sinusoidal también es comúnmente expresada de la siguiente forma: y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2πx/λ+ φ0 ) = A cos(ωt – βx + φ0 ) donde ω = 2πf = 2π/T = velocidad angular en rad/seg β = 2π/λ = constante de fase o wavenumber en rad/m (Nota: los rad de las unidades es arbitrario.) φ0 es la referencia de fase.
Referencia de Fase ¿Qué papel juega φ0? φ0 positivo indica que la onda se adelanta con respecto al caso de φ0 = 0. φ0 negativo indica que la onda se atrasa con respecto al caso de φ0 = 0.
Ejemplo: Ilustración de Ondas Sinusoidales con distintos valores de Referencia de Fase
Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas Tema: Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas
Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas Este es un caso mucho más real en donde la onda se atenúa según se propaga. Una onda viajando a través de un medio con pérdidas observará que su amplitud se atenúa conforme a e-αx. Este factor de e-αx se conoce como el factor de atenuación. α es la constante de atenuación y sus unidades son nepers/metro (i.e. N/m). (Nota: en realidad las unidades deberían ser 1/m. La unidad de nepers es arbitraria.)
Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas Ecuación de onda de 1 dimensión: y(x,t) = A e-αx cos(ωt - βx) La amplitud de la onda ya no es A. Ahora es A e-αx . Según x -> infinito, la amplitud -> 0.
Ejemplo de onda propagándose en un medio con pérdidas:
Referencias http://en.wikipedia.org http://www.prtc.net/~rmediavi/TEEL%204051.htm