Autovalores y Autovectores Generalidades Círculos de Gerschgorin Método de las Potencias Transformaciones Similares Prof. Dra. Nélida Beatriz Brignole

Definición del Problema

Ejemplo

Interpretación geométrica La multiplicación por A dilata a x , contrae a x, o revierte la dirección de x, dependiendo del autovalor de A

Teorema de Gerschgorin Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Teorema de Gerschgorin Sea con autovalores Sean los círculos Entonces

Ejemplo

Demostración

Demostración (cont.)

Método de las Potencias Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Método de las Potencias

Método de las Potencias (cont.) Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Método de las Potencias (cont.)

Método de las Potencias (cont.)

Algoritmo: Método de las Potencias

Efecto del Escalado

Efecto del Escalado (cont.)

Velocidad de Convergencia Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Velocidad de Convergencia

Cálculo del Autovalor Dominante Cociente de Rayleigh

Cálculo del Mínimo Autovalor

Algoritmo MP Inverso

Método de las Potencias con Corrimiento

Shifting

Algoritmo MPI con Corrimiento

Resumen Método Ecuación Computa Máximo autovalor λ Mínimo autovalor λ Potencias Máximo autovalor λ Inverso Potencias Mínimo autovalor λ Con shifting Autovalor más lejano a μ Con shifting inverso Autovalor más cercano a μ

Conclusiones: Método de las Potencias Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Conclusiones: Método de las Potencias Ventaja Simplicidad Desventajas Calcula los autovalores individualmente Requiere un autovalor dominante Surgen problemas con autovalores complejos Requiere buena distancia entre el autovalor dominante y su vecino La inicialización del autovector afecta la velocidad de convergencia Herramienta para propósitos especiales Muy buena si se conoce bien el problema Necesidad de herramientas de propósito general ... que exijan tomar menos decisiones que calculen todo el espectro a la vez

Transformaciones Similares Instrucciones: Reemplazar iconos de ejemplo por iconos de documentos activos así: Crear documento en Word. Volver a PowerPoint. En el menú Insertar, seleccione Objeto... Haga clic en “Crear desde archivo” Ubique el nombre de archivo en el cuadro “Archivo” “Mostrar como icono” debe estar activado. Haga clic en Aceptar Seleccione un icono En el menú Presentación, seleccione Configuración de la acción. Haga clic en “Acción de objeto” y seleccione “Modificar” Transformaciones Similares Las matrices se denominan SIMILARES si no singular tal que Las transformaciones similares preservan los autovalores

Teorema Demostración

Factorización Sucesiva Propósito: Generar una sucesión de matrices similares, tendiendo a lograr una forma especial

Diagonalización Autovalores distintos => Autovectores L.I. => Existe inversa de X Si A es simétrica => Sus autovalores son reales X es ortogonal

Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas? Pregunta crucial que nos hemos hecho desde el principio. “Diagonalizar matrices es un campo muy complejo de la matemática, y ha exigido gran cantidad de tiempo y de trabajo desarrollar y verificar todas las rutinas realizadas” “Libros de tanta reputación y calidad como el Numerical Recipes recomiendan usar paquetes de rutinas. De hecho, existen gran cantidad de rutinas de calidad y que son aceptadas por la comunidad científica, como es el caso de EISPACK, IMSL o NAG. “

Experiencia “Sin embargo, al ejecutar el código verificamos que el programa comenzó a fallar y a generar datos erróneos. Tras varias semanas de verificación del código, llegamos a la conclusión que el código estaba mal: eran las rutinas de autovalores. Y estudiando en profundidad dichas rutinas percibimos que, por su implementación interna, tenía comentado un escalado para que fuera más deprisa. Eliminado el comentario del escalado, sí volvió a dar resultados correctos. Sin embargo, esto ya sentó las dudas sobre qué estabamos empleando para resolver nuestras ecuaciones. Por otro lado, analizamos los límites internos de las rutinas.“

Rutinas prefabricadas “Emplear rutinas ya prefabricadas es, en nuestra opinión, una buena opción para cuando no es un cálculo que hagamos con frecuencia o que suponga peso en los cálculos para nuestro algoritmo.” “En caso de que la diagonalización sea una parte importante de nuestro trabajo, sólo podemos emplear rutinas prefabricadas para las primeras fases de prototipado o para generar baterías de pruebas para asegurarnos de la corrección de nuestras rutinas, y sin tomar como axiomas los resultados numéricos de ninguna de las dos rutinas.” “Como rutinas prefabricadas hemos empleado las IMSL, que son bastante buenas. Están en Fortran, lo que fué una ventaja en las primeras fases del proyecto -en las que el Fortran fué nuestro lenguaje de programación- y un inconveniente en las últimas fases -que portamos todo el código a C, fundamentalmente por la gestión de memoria dinámica, de la que Fortran 77 carece y, en Fortran 90 y posteriores, es menos eficiente que en C.“

Matrices Triangulares ¿Cómo transformar matrices arbitrarias en matrices triangulares con los mismos autovalores?

Teorema de Schur Sea Entonces existe una matriz unitaria tal que donde es triangular superior. Los elementos diagonales de son los autovalores de

Forma Real de Schur

Lectura obligatoria Rao págs 270-291 Rao págs 315-324