An optimization model for determining agricultural management zones Víctor M. Albornoz Rodrigo A. Ortega Departmento de Industrias. Campus Santiago. Universidad Técnica Federico Santa María. Chile Néstor M. Cid-García Yasmín A. Ríos-Solís Postgrado en Ingeniería de Sistemas. Universidad Autónoma de Nueva León. México

Contenidos 1.Introducción. 2.Descripción del problema. 3.Modelo propuesto. 4.Resultados. 5.Conclusiones y extensiones.

1. Introducción Es posible conseguir una adecuada planificación agrícola mediante el diseño de zonas de manejo sitio-específicas a partir de las propiedades del suelo.

Uno de los principales elementos a considerar es la homogeneidad o la heterogeneidad existente dentro del terreno. A lo anterior contribuye el uso de nuevas herramientas de tecnologías de la información que pueden ser utilizadas en el proceso de toma de decisiones.

La Agricultura de Precisión es la disciplina que hace uso de las TI en el ámbito de la producción agrícola. En base a esta disciplina se ha estado diseñando la administración de nutrientes con tasa variable, el control de malezas y la aplicación de pesticidas, entre otros, apoyados por información geo-referenciada en tiempo y sitio-específica.

En este contexto, algunos trabajos preliminares en Agricultura de Precisión, relacionados con producción agrícola que analizan, miden el impacto y aplican esta metodología en el manejo sitio-específico, podemos mencionar entre otros: Robert (2002) Schepers et al. (2004) Fleming et al (2004) Ortega y Esser (2003) McBratney et al. (2005) Ortega y Santibañez (2007) Roudier et al. (2008)

En este trabajo en particular se aborda la problemática relacionada con la obtención de una apropiada subdivisión de un terreno, de manera obtener secciones lo mas uniforme posibles, apoyados precisamente en el uso de técnicas de esta disciplina combinadas con el empleo de un modelo de optimización.

2. Descripción del problema El problema considera inicialmente contar con datos con las propiedades del suelo. Dicha información es geo-referenciada con apoyo de un sistema de posicionamiento global y un sistema GIS y manejada posteriormente mediante MapInfo.

Esto incluye por ejemplo el nivel de pH, Nitrógeno, Potasio, Materia Orgánica (MO) y Fósforo (P). A modo de ilustración la siguiente figura presenta dos mapas del mismo terreno con los índices de MO y P:

Enseguida, se genera de manera exhaustiva (por enumeración) un conjunto de potenciales zonas de manejo (rectangulares), a partir de un cierto tamaño mínimo y máximo dado según la cantidad de datos muestrales de que se dispone.

Lo anterior determina una matriz de incidencia C=(c ij ), donde c ij =1 indica que la potencial zona o cuartel i incluye el punto de muestra j y c ij =0 en caso contrario. Elegido uno de los índices del terreno o una combinación de los mismos (suma de bases), se calcula la varianza de dicho índice, que denotaremos por  i 2 para cada potencial zona de manejo i  I.

3. Modelo propuesto En lo que sigue se describe un modelo de programación entera que selecciona de entre el conjunto dado de potenciales zonas de manejo (rectangulares) un subconjunto que define una partición del terreno de acuerdo a la minimización de la varianza asociada a dicha partición e imponiendo una determinada varianza relativa.

Se considera la siguiente notación: I = conjunto de los potenciales zonas de manejo J = conjunto de las muestras del terreno de un índice dado  i 2 = varianza de potencial zona de manejo i  I n i = cantidad de puntos de muestra en la zona de manejo i  I LI = límite inferior de la cantidad de zonas a seleccionar LS = límite superior de la cantidad de zonas a seleccionar c ij = 1 si la potencial zona de manejo i  I incluye el punto de muestra j  J y 0 sino  T 2 = varianza del terreno  = límite inferior de la varianza relativa para una partición

Denotando la variable de decisión por x i = 1 si se selecciona la potencial zona de manejo i  I y 0 sino. El modelo propuesto corresponde a:

El modelo resultante corresponde a un modelo de programación entera lineal al escribir de manera equivalente su última restricción según: A pesar de su complejidad computacional, este modelo ha podido ser resuelto a optimalidad mediante un software general de ILP con instancias de hasta 30x30 datos muestrales en tiempos bajo los 4 minutos de resolución.

4. Resultados. Se ha trabajado en un sistema de apoyo a la toma de decisiones incluye un programa en Visual Basic para la generación automática de potenciales zonas de manejo y la posterior visualización de resultados obtenidos, que esquemáticamente corresponde a:

Las distintas experiencias computacionales relacionadas con la resolución del modelo propiamente tal se llevaron a cabo en un PC Intel Core 2 Duo de 2Ghz y 4GB de RAM, haciendo uso del software de modelado algebraico GAMS, en conjunto con CPLEX 12.2 como solver del modelo de programación entera propuesto.

El modelo propuesto se aplicó inicialmente a una instancia real correspondiente a un campo de 7.82 ha., con un total de 42 puntos muestrales, cuyos resultados muestran las siguientes tablas;

Para dos índices del suelo, un valor dado de varianza relativa, las gráficas muestran el comportamiento de la función objetivo respecto del límite máximo de zonas de manejo impuesta:

De igual modo, las siguientes figuras permiten apreciar la partición óptima propuesta por el modelo ante dos diferentes tamaños mínimos de zonas potenciales (de 1x1 y 2X1) y que muestran la visualización generada de la solución:

Por último, se generaron instancias de diferentes tamaños que permitieran apreciar el desempeño de la metodología propuesta, cuyos resultados se resumen en la siguiente tabla:

5. Conclusiones y extensiones La metodología propuesta puede ser utilizada como una herramienta en la toma de decisiones para la definición de zonas de producción agrícola. Los resultados obtenidos muestran que es posible alcanzar la optimalidad de la solución propuesta en lapsos de tiempo muy razonables. La complejidad del modelo obligará a la búsqueda de estrategias alternativas de resolución, asociadas por ejemplo a la generación de particiones, frente a instancias de mayor tamaño.

Gracias por su atención An optimization model for determining agricultural management zones Víctor M. Albornoz Rodrigo A. Ortega Departmento de Industrias. Campus Santiago. Universidad Técnica Federico Santa María. Chile Néstor M. Cid-García Yasmín A. Ríos-Solís Postgrado en Ingeniería de Sistemas. Universidad Autónoma de Nueva León. México