Sesión 13.2 Cónicas: Elipse

Consideraciones previas: La litotricia Es un procedimiento médico que utiliza ondas de choque de alta frecuencia para romper cálculos (piedras) que se forman en el riñón, la vejiga, los uréteres o la vesícula biliar. Note la utilidad de la elipse en aplicaciones en la medicina.

La elipse Es el conjunto de puntos (x; y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante. Eje focal Centro Focos Vértices d1 + d2 = constante d1 d2

Ecuación de la elipse d1 d2 d1 + d2 = 2a Del triángulo

Ecuación de la elipse Las elipses están centradas en el origen con focos en el eje x (a) y en el eje y (b) y x Semieje mayor: a (0, a) (0, -a) (b, 0) (-b, 0) a c b (0, -c) (0, c) y x (0, b) (0, -b) (-c, 0) (-a, 0) (c, 0) (a, 0) a b c Semieje mayor: a (a) (b)

Ejemplos Determine los vértices y los focos de la elipse a) b)

Elipses con centro (0; 0) Eje x (c; 0) (a; 0) a b Eje y (0; c) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje mayor Semieje menor Relación pitagórica

Para trazar una elipse 1. Dibuje los segmentos de recta en x =  a y en y =  b y complete el rectángulo que queda determinado por los segmentos. 2. Inscriba una elipse que sea tangente al rectángulo en (a; 0) y en (0; b). x y a -a b -b Ejercicio Determine la ecuación de la elipse con focos (0; -3) y (0; 3), cuya longitud del eje menor es 4. Bosqueje la elipse.

Traslación de elipses Si la elipse tiene centro (h, k) y y x x (h, k+a) (h, k–a) (h+b, k) (h–b, k) (h, k–c) (h, k) (h, k+c) Si la elipse tiene centro (h, k) y x (h, k+b) (h, k–b) (h–c, k) (h–a, k) (h+c, k) (h+a, k) Semieje mayor: a (h, k) Semieje mayor: a

Ejercicios Grafique la elipse Determine la forma estándar de la ecuación de la elipse cuyo eje mayor tiene sus puntos extremos en (-2; -1) y (8; -1), y cuya longitud del eje menor es 8.

Excentricidad de una elipse La excentricidad de una elipse es En donde a es el semieje mayor, b es el semieje menor y c es la distancia del centro de la elipse a cualquiera de los focos.

Modelación Trazo de una elipse en una plancha contraplacada Un carpintero desea construir una mesa con cubierta elíptica a partir de una plancha de madera de 4 pies por 9 pies. El trazará una elipse por medio del método de “tachuelas y cuerda”. ¿Qué longitud de cuerda debe usar y que tan apartadas deben estar las tachuelas si la elipse será la más grande posible que se pueda cortar con la hoja de madera?

Modelación Para una elipse que genera el elipsoide de un litotriptor el eje mayor tiene extremos (-8; 0) y (8; 0). Un punto final del eje menor es (0; 3,5). Determine las coordenadas de los focos. La elipse para generar el elipsoide de un litrotriptor tiene un eje mayor de 12 pies y un eje menor de 5 pies. ¿Qué tan lejos del centro están los focos?

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 4, 16, 26, 28, 36, 46, 48, 54 y 56 de las páginas 653 y 654. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.