𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 TRIGONOMETRIA (Trígono=Triángulo; metria=medida) 1.- TEOREMA DE PITAGORAS La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

2.- RAZONES TRIGOMENTRICAS Se definirán las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼

EJEMPLOS 1.- Escribir las razones trigonométricas para el ángulo β

2) En el triangulo de la figura hallar las razones trigonométricas para los ángulos dados 3) En el triangulo de la figura, determine el valor de x

4.-En el triangulo de la figura, determine el valor de x

EJERCICIOS 1.- En los siguientes triángulos, hallar las razones trigonométricas de los ángulos dados

3- Determina en cada caso el valor de x

2.- Determina el valor de x en cada caso

RAZONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS (Si se conocen los lados y se desea saber el valor de los ángulos) Permiten conocer el valor de un ángulo, teniendo el valor de la razón trigonométrica asociada EJEMPLO: Si quisiéramos conocer el valor del ángulo Ѳ

Por ejemplo: sabemos que cos θ = 0,5 SHIFT cos-1 0,5 =60º

EJEMPLOS 1.- Determina el valor de β 2.- Determina el valor de Ѳ

ACTIVIDADES 1. - Determina en cada caso el valor del ángulo α ACTIVIDADES 1.- Determina en cada caso el valor del ángulo α. Aproxima tu resultado

REPASO 1.- En el triangulo de la figura, calcular: sen α sen β cos α cos β el lado que falta tan α tan β α β 2.- Del ejercicio anterior, calcule las mismas incógnitas, si los valores de los catetos son: 10 y 15 cm 12 y 18 cm 2 y 4 cm 9 y 13 cm

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA Ya que la trigonometría relaciona la medida de los lados y los ángulos en un triángulos rectángulo nos será de gran utilidad en problemas de medición de longitudes difíciles para el hombre, tales como: alturas de montañas, arboles anchura de ríos o lagos altura de edificios, puentes etc. EJEMPLO Determina la altura del árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 60º

Definiciones previas Angulo de elevación: Se llama ∢ de elevación al angulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto esta sobre el observador Angulo de depresión: Se llama ∢ de elevación al angulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando el objeto esta bajo el observador

EJERCICIOS 1.- Determina la altura del árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º R: 10,6 m 2.- ¿Cuál es la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 m si el sol forma un ángulo de elevación de 30º? R: 3,34 m 3.- Una escalera de 8 m se encuentra apoyada en una pared y forma con esta un ángulo de 40°. Calcula la distancia entre la pared y el pie de la escalera R: 5,14 m 4.- Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo de elevación de 60° con la horizontal. ¿A qué altura se encuentra el volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de 18 m y el niño mide 1,5 m? R: 17 m

5.- ¿Cuál es la altura de un puente que cruza un rio de 35 m de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo, pero del lado opuesto, con un ángulo de depresión de 15º? R: 9,4 m 6.-Un topógrafo necesita medir la altura de una montaña. Para esto, mide el ángulo de elevación desde dos puntos diferentes. En el primer punto el ángulo mide 42º, avanza medio kilometro y el ángulo aumenta en 5º. ¿Cuál es la altura de la montaña?

7.- Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una inclinación de 5º. ¿Cuántos metros debe recorrer para alcanzar una altura de 10 m? 8.- Un avión asciende con un ángulo de 40º mientras viaja a velocidad de 800 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardara en llegar a una altura de 10.000 metros? 9.- Un avión se encuentra a 2.300 m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? R: 5.442 10.-Desde un punto P situado a nivel del suelo se observa la punta de una chimenea bajo un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 metros desde otro punto Q el ángulo de elevación es de 60°. Determine la altura de la chimenea y la distancia desde ésta hasta el primer punto de observación P R: y= 10 m; x=17,3 m