Frecuencia Compleja Circuitos eléctricos 2

Introducción Función senoidal amortiguada v(t) = V0 s = w = 0 v(t) = Vm cos (wt + q) v(t) = Vmest cos (wt + q) s = 0 w = 0 v(t) = Vmest

Frecuencia Compleja s = s + j w s = frecuencia neper, w = frecuencia real v(t) = V0 s = 0 s = s1 = jw, s = s2 = -jw K1 = ½Vmejq K2 = K1* = ½Vme-jq v(t) = Vmcos (wt + q) s = 0 f(t) = Kest v(t) = Vmest cos (wt + q) s  0 s = s + j0 v(t) = Vmest

ejemplo Identificar las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes: a) (2e–100 t + e–200 t)sen 2000 t. (2e–100 t + e–200 t)sen 2000 t = 2e–100 t sen 2000 t + e–200 tsen 2000 t 2e–100 t sen 2000 t  –100 + 2000j, –100 – 2000j e–200 tsen 2000 t  –200 + 2000j, –200 – 2000j b) (2 – e–10 t)cos(4t + f). (2 – e–10 t)cos(4t + f) = 2cos(4t + f) – e–10 tcos(4t + f) 2cos(4t + f)  4j, –4j, e–10 tcos(4t + f)  –10 + 4j, –10 – 4j c) e–10 tcos 10t sen 40 t e–10 tcos 10t sen 40 t = e–10 t(sen(40t – 10 t) + sen(40t + 10 t))/2 e–10 tsen(30t)  –10 + 30j, –10 – 30j e–10 tsen(50t)  –10 + 50j, –10 – 50j

Función senoidal amortiguada Un voltaje senoidal amortiguado v(t) = Vmest cos (wt + q) Puede escribirse como v(t) = Re(Vmest ej(wt + q)) o v(t) = Re(Vmest ej(–wt–q)) factorizando ejq. v(t) = Re(Vmeq je (s + wt)t) o v(t) = Re(Vmeq je st)

v(t) = 60e–2t cos(4t + 10°) = Re(60e–2tej(4t+10°)) Ejemplo Se aplica una función senoidal amortiguada v(t) = 60e–2t cos(4t + 10°) V a un circuito RLC serie R = 2 Ohms, L = 3H, y C = 0.1 F, encuentre la corriente en el dominio del tiempo. v(t) = 60e–2t cos(4t + 10°) = Re(60e–2tej(4t+10°)) = Re(60ej10°e(–2+j4)t) o v(t) = Re(Ves t) con V = 6010° y s = –2 + 4j La corriente debe ser de la forma Ies t con I = Imf. Sustituyendo en la ec. de Kirchhoff se obtiene 6010°es t = 2 Ies t + 3 s Ies t + 10/ s Ies t Eliminando es t y despejando I = 6010°/(2 + 3 s + 10/ s)

Ejemplo (cont.) Sustituyendo s = –2 + j4 nos da I = 5.37–106.6° La corriente en función del tiempo es i(t) = 5.37e–2t cos(4t –106.6°)

Tarea Expresar cada una de las corrientes siguientes en el dominio de la frecuencia: a) 4 e-20t cos(1000t + 60°) mA; b) 4 sen(800t + 60°) mA; c) -4 e-5t sen(1000t – 60°) mA Si V = 64/_80° V, hallar v(0.001) si s = : a) -800 + j600; b) –j600; c) -800 – j600. 4/_-30°, 4/_30°, 4/_60°; -11.9, 20.1, 44.8

Z(s) y Y(s) El voltaje y la corriente se representan como v(t) = Re(Vest) i(t) = Re(Iest) Para una bobina Re(Vest) = Re(sLIest) Eliminando est V = sLI Impedancia: Z(s) = I/V = sL Admitancia: Y(s) = V/I = 1/sL

Z(s) y Y(s) R L C Z(s) sL 1/sC Y(s) 1/sL sC

Ejemplo I = 60/_10°/(2 + (-6 + j12) +(-1 – j2)) = 5.37/_106.6°

La respuesta en frecuencia como función de s Para un circuito RL La respuesta en el tiempo es

Circuito RL -  Vm/R Polo en -R/L %respuesta en función de sigma, circuito RL R = 1; L = 1; Vm = 1; sigma = -5:0.1:5; I = (Vm/L)./(sigma+R/L); plot(sigma,abs(I)); axis([-5,5,0,2]); grid title('magnitud de I vs. sigma'); Vm/R -  Polo en -R/L

Análisis de la respuesta La respuesta tiene un cero en  y un polo en –R/L. Al aplicar una señal finita a la frecuencia del polo se obtiene un respuesta infinita. Al aplicar una señal de magnitud cero en la frecuencia del polo se obtiene una respuesta finita, la respuesta natural del circuito RL. i(t) = Ime–Rt/L

%respuesta en función de sigma, circuito RC sigma = -60:1:40; V0 = 10 %respuesta en función de sigma, circuito RC sigma = -60:1:40; V0 = 10*(sigma + 20)./(sigma + 10); plot(sigma,abs(V0)); axis([-60,40,0,40]); grid title('magnitud de V0 vs. sigma'); Cero en –20 Polo en –10

mínimo relativo  - %respuesta en función de sigma, circuito RLC sigma = -7:0.05:1; I = 100*sigma./((sigma + 1).*(sigma + 5)); plot(sigma,abs(I)); axis([-7,1,0,300]); grid title('magnitud de I vs. sigma');

Ejercicio 12-8 Frecuencias críticas: s = –10, – 100,  % +---R1---+---R2---+ % | | | % Ven C1 C2 Vsal % +--------+--------+ % Encontrar Vsal/Ven a) frecuencias criticas % b) evaluar en % sigma = -200, -80, -40, 0 Np/s c) graficar % R1 = 20000; % R2 = 10000; % C1 = 2.5e-6; % C2 = 2e-6; sigma = -120:1:20; % h = 1000./((sigma+100).*(sigma+10)); plot(sigma,abs(h)) grid Frecuencias críticas: s = –10, – 100,  polos: –10, – 100 ceros:  h(-200)= 0.0526 h(-80) = -0.7143 h(-40) = -0.5556 h(0) = 1.0000

+ -

Tarea Si vs representa una función excitatriz exponencial en el circuito que se muestra en la figura. Hallar todas las respuestas críticas de la respuesta I1 en el dominio de la frecuencia y representar gráficamente |I1| respecto a s. I1 --> +---+---R1---+---+ R1 = 3 W | | | | R2 = 2 W vs L1 L2 R2 L1 = 6 H | | | | L2 = 3 H +---+--------+---+

Gráficos de magnitud y fase Impedancia de una resistencia de 3 Ohms y una bobina de 4 H. Z(s) = 3 + 4s Z(jw) = 3+4jw

Magnitud en función de w

Fase en función de w

El plano de la frecuencia compleja jw s=0 s<0 s>0 w=0 s s<0 s>0

Naturaleza de la respuesta jw t t t s t t t t t t

Gráfica en 3D sigma = -5:0.2:0; omega = -4:0.2:4; [x,y] = meshgrid(sigma,omega); Y = 1./(x+j*y + 3); z = abs(Y); mesh(x,y,z); xlabel('sigma'); ylabel('jw'); zlabel('|Y|'); title('Y(s)=1/(s + 3)'); axis([-5,0,-4,4,0,2]);

Gráficas en 2D %Admitancia sigma = -5:0.2:0; Y = 1./(sigma + 3); plot(sigma,abs(Y)); grid %Admitancia w = -4:0.2:4; Y = 1./sqrt(w.^2 + 3); plot(w,abs(Y));

Patrón de polos y ceros jw -1+j5 s -2 -1+j5 |Z(s)| |Z(jw)| -1-j5

Z(s) a partir de polos y ceros A partir del mapa de polos y ceros anterior podemos obtener la impedancia Si suponemos Z(0) = 1, obtenemos h = 13

Obtención de la gráfica mediante vectores Representación de s1 = –3 + j4 en el plano complejo Representación de s1 = –3 + j4 y s = j7 en el plano complejo Diferencia de s – s1 = 3 + j3 = 4.2445° jw jw jw j7 j7 s – s1 45° j4 j4 j4 s1 s1 s1 126.9° 126.9° 126.9° s s s –3 –3 –3

Ejemplo |V(jw)| 1 jw jw 2/3 w |ang(jw)| s + 3 s + 2 w s s –3

Tarea Para las configuraciones de polos y ceros de las figuras suponga que representan una razón de tensión V2/V1, y que el valor de la razón a frecuencia infinita es 20. Expresar las razones como razones de polinomios en s. jw jw jw 50j 2j 20j s s s –40 –20 –2 2 –20 –10 -20j –2j -50j

Respuesta natural en el plano s La respuesta forzada de un circuito RL se obtiene a partir de: if (t) se obtiene al sustituir s, R y L por sus valores, reinsertar est y tomar la parte real. La respuesta natural se obtiene a partir de los polos de la fórmula anterior. I(s) = A en s = -R/L+j0 in(t) = Re(Ae-Rt/L) in(t) = Ae-Rt/L i(t) = Ae-Rt/L + if(t)

Respuesta natural en el plano s V2(s) La respuesta deseada I(s) o V2(s) puede obtenerse como un cociente de polinomios: + - Red sin fuentes independientes I1(s) + Vs - La respuesta natural es V2(s) Los polos determinan la forma de la respuesta natural que ocurre cuando las fuentes son cero. + - Red sin fuentes independientes I1(s) Is

Ejemplo i1(0) = i2(0) = 11A Insertando una fuente Vs entre xx’ y calculando la I(s) producida, obtenemos i1 i2 i1(t) = Ae–2t + Be–t/6 Evaluando condiciones iniciales: i1(t) = 8e–2t + 3e–t/6

Ejemplo Encontrar v(t) para la siguiente red: +---+---+---+---R1---+ | | + | | | I S v R2 L1 L2 | | - | | | +---+---+---+--------+ R1 = 12 R2 = 3 L1 = 2 H L2 = 4 H i(t) = e-tcos2t A S abre en t = 0

V(-1 + 2j) = Z(-1 + 2j)I(-1 + 2j)

Síntesis de H(s) Se busca una red que tenga una H(s) especificada. + Vent Vsal -

Síntesis de H(s) Zf Z1 - + + + Vent Vsal - -

Bloques básicos Vent Vsal Vent Vsal Rf Rf Cf R1 R1 C1 - + - + + + + +

Ejemplo Sintetizar El polo se logra con tomando RfA = 100 kW y CfA = 2 mF El cero se logra con tomando R1B = 100 kW y C1B = 5 mF La función final es tomando RfB = 100 kW y R1A = 25 kW

Red final Vent Vsal 100 kW 100 kW 25 kW 2 mF 100 kW 5 mF - + - + + + -