Sesión 13.1 Cónicas: Parábola

Consideraciones previas Reflector parabólico Antena Reflector parabólico La señal satelital es recibida por la antena e ingresa al decodificador, y las imágenes se ven en la TV.

Generación de cónicas Parábola Elipse Hipérbola La ecuación algebraica que define a las cónicas es: donde A, B y C no son todas cero

Geometría de la parábola Definición Una parábola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de una recta fija (la directriz) y un punto fijo (el foco). Línea directriz F: Foco Distancia a la directriz Punto (x; y) de la parábola V: Vértice Distancia al foco F V Eje de la parábola

Comprensión de la definición de la parábola Demuestre que el vértice de la parábola con foco (0; 1) y directriz y = -1 es (0; 0). Obtenga una ecuación para la parábola que se muestra en la figura. y = -1 Parábola Foco Vértice Eje Directriz

Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje y Gráficas de x2 = 4py con: a) p > 0 b) p < 0 x y F(0, p) y = -p P(x, y) |p| x2=4py x2=4py D(P, F) = d(P, directriz)

Ejercicios Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola: .

Ecuación de la parábola con el eje focal en el eje x Gráficas de y2 = 4px con: a) p > 0 b) p < 0 y x F(p, 0) x = -p P(x, y) p y2=4px y x F(p, 0) x = -p P(x, y) |p| y2=4px D(P, F) = d(P, directriz)

Ejercicios Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola: y2 = –8x

Parábolas con vértice en (0; 0) Ecuación estándar Abre Foco Directriz Eje Longitud focal Ancho focal x2 = 4py Hacia arriba o hacia abajo (0; p) y = -p eje y |p| |4p| y2 = 4px Hacia la der. o hacia la izq. (p; 0) x = -p eje x |p| |4p|

Ejercicios Determine la ecuación estándar de una parábola cuya directriz es la línea x = 2 y cuyo foco es el punto (-2; 0) Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface las condiciones dadas: Foco (-4; 0), directriz x = 4. Vértice (0; 0), se abre a la derecha, anchura focal = 8.

Traslación de parábolas Parábolas con vértice (h, k) y focos en el punto: a) (h, k+p) b) (h+p, k) x y (h, k) (h+p, k) (h, k) (h, k+p) x y

Parábolas con vértice (h, k) Ecuación estándar Abre Foco Directriz Eje Longitud focal Ancho focal (x–h)2 = 4p(y–k) Hacia arriba o hacia abajo (h, k+p) y = k – p x = h |p| |4p| (y–k)2 = 4p(x–h) Hacia la derecha o hacia la izq. (h+p, k) x = h – p y = k |p| |4p|

Ejercicios Obtenga la forma estándar de la ecuación de la parábola con vértice (3; 4) y foco (5; 4). Determine la ecuación estándar de una parábola que satisface la condición dada: Foco (3; 4), directriz y = 1. 7. Pruebe que la gráfica de la ecuación es una parábola y obtenga su vértice, foco y directriz y2 – 2y + 4x - 12 = 0

Modelación En las líneas laterales de cada juego de fútbol transmitido por TV, la cadena CMD (Cable Mágico Deportes) utiliza un reflector parabólico con un micrófono en el foco del reflector para captar las conversaciones entre los jugadores en el campo. Si el reflector parabólico es de 3 pies de ancho y un pie de profundidad, ¿dónde se debería colocar el micrófono? V(0, 0) (1,5; 1) x y (-1,5; 1) F(0, p)

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 6, 18, 20, 22, 30, 34 y 36 de la página 641. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.