INTERPOLACION LINEAL Ing. Ada Paulina Mora González
La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura 1.
Usando triángulos semejantes, se tiene: Que se puede reordenar como: En general, entre mas pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.
EJEMPLO Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal. Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944. Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718
SOLUCIÓN: Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da: La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da: Por lo contrario, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo grado para interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática. Para la interpolación lineal utilizábamos dos puntos, pues dos puntos determinan una recta; ahora necesitaremos tres puntos para determinar la correspondiente parábola
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA El error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea recta. Estrategias: – Disminuir el tamaño del intervalo. – Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos. Si tres puntos de los datos están disponibles, esto puede realizarse con un polinomio de segundo grado (parábola).
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Puede utilizarse un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bO se usa x=xO y se obtiene
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sustituyendo las ecuaciones anteriores, y evaluando en x = x1: Este resultado representa la pendiente de la linea de los puntos xO y x1
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sustituyendo nuevamente, y ahora evaluando en x = x2: Esta ecuación introduce la curvatura en la formula .