Estadística para administradores Estimación de parámetros

Estimación Las poblaciones son descriptas mediante sus parámetros y su distribución de probabilidades. Para variables cuantitativas, las poblaciones son descriptas mediante m y s. Para variables cualitativas, las poblaciones son descriptas mediante p. Si los valores de los parámetros son desconocidos, podemos estimarlos en base a muestras y esperamos que sean una buena aproximación al valor exacto

Definiciones estimación puntual: se calcula un valor simple a partir de la muestra a fin de estimar el parámetro estimación por intervalo de confianza: se calculan dos números para crear un rango de valores que se espera contenga al parámetro con una cierta probabilidad o nivel de confianza

Propiedades de un buen estimador puntual Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la esperanza del estimador es igual al valor del parámetro que se desea estimar. Ej: E( x ) = m Consistente: A medida que el tamaño de la muestra aumenta el estimador debe tender al valor del parámetro y su variancia debe tender a cero Eficiente: Un estimador es eficiente cuando tiene variancia mínima. Suficiente: El estimador es suficiente cuando aprovecha toda la información existente en la muestra

Definiciones Error muestral: es la distancia entre el estimador puntual y el verdadero valor del parámetro Pero si el valor del parámetro se desconoce ¿cómo podemos cuantificar el error muestral? Para eso es útil conocer la distribución de probabilidades (distribución muestral) del estimador

Distribución muestral de los estimadores Dado que los estimadores son función de cada muestra, admiten infinitos valores, es decir se comportan como variables aleatorias. Por lo tanto, se pueden caracterizar por: Un promedio o esperanza Un desvío estándar (llamado error estándar) Una distribución de probabilidades Por ejemplo: Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras “grandes”, la media muestral es: aproximadamente normal (Teorema Central del Límite) con la misma media con desvío estándar (error estándar) mucho menor

¿Cómo calcular el error muestral en la estimación de µ? EM El error muestral es la máxima diferencia estimada entre el estimador y el parámetro

¿Entre qué valores esperaría que se encuentre µ ¿Entre qué valores esperaría que se encuentre µ? Intervalo de confianza para µ a s - = + < 1 ) ( 2 n z x µ P LI LS

Intervalos de confianza 1- α es el nivel de confianza y es la probabilidad de que el intervalo contenga a µ Valores típicos de 1-α=0,90 ; 0,95 ; 0,99 α es la probabilidad de error (no contener al parámetro) y se la denomina también riesgo En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala: La buena: hemos usado una técnica que en un porcentaje alto de casos acierta. La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.

¿Cómo mejorar la estimación? Para disminuir el error muestral (mayor precisión): Tamaño de la muestra Nivel de confianza Desvío estándar

Supuestos Para que las estimaciones sean confiables se debe cumplir: Muestreo aleatorio Muestreo con reposición o bien debe suponerse que la población es infinita La variable x debe tener distribución normal; en caso contrario, el tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande (n30) El desvío estándar poblacional debe ser conocido