Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Indice 1) Sucesos Aleatorios. 2) Espacio Muestral. 3) Operaciones con Sucesos. 4) Enfoques de la Probabilidad. 5) Axiomas de Kolmogorov. 6) Axiomas de la Probabilidad Subjetiva. 7) Resultados Básicos con Probabilidades. 8) Variables Aleatorias. 9) Educción de Probabilidades.

Modelización de la incertidumbre Enfoques de la Probabilidad Enfoque Clásico Laplace, “Teoría analítica de probabilidades” 1812 Supuesto que todos los resultados elementales son igualmente verosímiles, la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles Probabilidad de A = cardinal de A / cardinal de E = |A| / |E| Hipótesis de simetría respecto al espacio muestral que puede no ser cierta en muchos experimentos aleatorios Si el número de total de resultados no es finito no se puede calcular el cociente

Modelización de la incertidumbre Enfoques de la Probabilidad Enfoque Frecuentista (Richard Von Mises ( ) ) Experimento aleatorio repetido N veces Espacio muestral E y un suceso A que se observa n veces, 0  n  N Frecuencia Absoluta de A: n Frecuencia Relativa de A: f(A) = n/N Propiedades de la frecuencia relativa (A y B   (E)): 1. 0  f(A)  12. f(¬A) = 1 – f(A) 3. A  B  f(A) < f(B)4. A  B =   f(A  B) = f(A) + f(B) 5. f(E) = 16. f(A  B) = f(A) + f(B) – f(A  B) Contexto de un experimento aleatorio que se repite indefinidamente en identicas condiciones. Probabilidad como límite empírico: Probabilidad de A = límite n/N, n  Conflicto: condiciones estables en un tiempo indefinido

Modelización de la incertidumbre Enfoques de la Probabilidad Enfoque Subjetivo o Personal (Finetti, 1975; French, 1986) Contexto de un suceso que puede observarse una sola vez La probabilidad representa el grado de creencia de que se observe un suceso o que el sistema presente un cierto estado. Probabilidad de A = cuantificación de la creencia en la observación de A tras la observación de cierta Información relevante o evidencia Enfoque natural para la representación y el análisis de juicios con imprecision Enfoque personal, las probabilidades se asocian al observador no al sistema objeto La probabilidad está definida por el grado de creencia personal y el grado de información disponible, que puede cambiar y actualizar la probabilidad La cuantificación del grado de creencia es un probabilidad si verifica la Axiomática de Kolmogorov u otra axiomatización que garantice la coherencia

Axiomas de la Teoría de la Probabilidad (Kolmogorov, 1933) Se basa en la Teoría de la Medida Fundamenta el concepto de probabilidad y el cálculo de probabilidades Definición de  -Álgebra A: 1. A  A  ¬ A  A 2. {A i }  i=1  A    i=1 A i  A ,  y ¬ son leyes de composición interna en la  -Álgebra. Ej’s:  (E) y {E,  } Espacio Probabilizable: (E, A ) Probabilidad en (E, A ) es toda aplicación P: A  +, que verifique los axiomas: A1. P(E) = 1 A2. {Ai}  i=1  A, A i  A j = , i  j  P(   i=1 A i ) =   i=1 P(A i ) Espacio de Probabilidad: (E, A, P). E finito, infinito numerable, continuo. Propiedades de una probabilidad. A y B sucesos de un (E, A, P) 1. P(  ) = 02. P(¬A) = 1 – P(A)3. A  B  P(A)  P(B) 4. 0  P(A)  15. P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Modelización de la incertidumbre Axiomas de Kolmogorov

A, B y C  (E, A, P.Subjetiva) El decisor/experto tiene percepción inherente de verosimilitud relativa y puede decir: A más verosímil que B, menos o igual. Relación binaria A B: “A al menos tan verosímil como B” S1. es un orden débil (transitividad, completud, consistencia) S2. Independencia de sucesos comunes: si A  C = B  C =   A B  A  C B  C S3. No trivialidad: A ,  A S4. El experimento de referencia, donde el decisor/experto está preparado para considerar sus creencia (rueda de la fortuna) S5. Continuidad:  A, el decisor/experto puede identificarlo con un suceso sobre la rueda de la fortuna à tal que A ~ à Modelización de la incertidumbre Axiomas de la Probabilidad Subjetiva p 1-p

Modelización de la incertidumbre Axiomas de la Probabilidad Subjetiva S6. Equivalencia de certidumbres:  (  ) = 360º Si se verifican los axiomas S1-S6 existe una única medida de probabilidad que satisface "probabilidades mayores a sucesos más verosímiles" Los axiomas S1-S6 garantizan que  ! P tal que A B  P(A)  P(B) P es la distrib de prob subjetiva del decisor; describe sus creencias Construcción P(A) =  (A) / 360º Verifica los axiomas A1 y A2 de Kolmogorov French (1986) muy basado en DeGroot (1979) Otros sistemas axiomáticos: De Finetti (1937), Raiffa (1968), Ramsey (1931), Savage (1954)