Sólidos de Revolución Noviembre 2012 VBV

Definición Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.

Ejemplos…

Cilindro de Revolución Se obtiene al girar una vuelta completa un rectángulo alrededor de uno de sus lados. r radio Superficie lateral h altura bases

Cono de revolución Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. r h generatriz

esfera Es el sólido que se obtiene al girar un semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro. R

Métodos Para calcular el volumen de este tipo de sólidos veremos por ahora dos métodos: Método de los Discos Método de las Capas Cilíndricas.

y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y x =b Método de los Discos Consideremos la región plana limitada por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y x =b Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: f(x)  0. f(x) a b x

Esta región gira alrededor del eje X. f(x) a b x

Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2. Por tanto, OBS: Radio: f(x)

Ejemplos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido, por: f(x)= x – x3, 0  x  1, en torno al eje X. (Resp. 4/15) f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)

y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y x =b Caso: Arandelas Consideremos la región plana limitada por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y x =b Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: 0  f(x)  g(x). g(x) f(x) a x b

Esta región gira alrededor del eje X b x g(x) f(x)

Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al (área del círculo mayor) - (área del círculo menor) El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:

Ejemplos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución acotado por la región: y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X. (Resp.) y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)

Caso: Rotación sobre el eje Y Es la misma idea! y=f(x) x=g(y) f(x)

Caso: rotación sobre una recta Supongamos que la región rota sobre una recta x=L. L- g(y) x=L L- f(y)

Caso: rotación sobre una recta Supongamos que la región rota sobre una recta x=L. x=L g(y) - L f(y) - L

Ejercicios Propuestos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R: 8/3) Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta y=1 (R: 7/6)

Método de las Capas Cilíndricas. V=2(radio)(altura) Esto es,

Ejercicios Propuestos. Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de x=2 (R: 29/15) y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R: 4/15)