Leyes de Kepler Luis Enrique Gallardo

Primera Ley 1. Todos los planetas se deslizan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol. Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera:

“Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el movimiento de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola) ”

2da Ley de Kepler 2. El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esto indicará que los planetas más cercanos al sol se desplazan más rápidamente, o sea, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa a la elipse.

Tercera Ley de Kepler 3. Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas. Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la aproximación de que la masa del objeto que orbita es despreciable en comparación con la del Sol, se obtiene exactamente la expresión deducida por Kepler:

Ahora vamos a demostrar la primera ley de Kepler Como sabemos los planetas mantienen un movimiento elíptico, gracias a que existe una fuerza que en este caso, ejerce el sol sobre el planeta en estudio, por la segunda ley de Newton . F = ma La demostración de esta ley no la haremos en este curso ya que en necesario la utilización de los conceptos de momento angular, velocidad y aceleración angular, ya que son conceptos muy largos

Demostración de la segunda ley de kepler Ahora con ayuda de los conceptos que hasta ahora tenemos, podemos demostrar esta ley pero antes, haremos un breve resumen de los conceptos necesarios para su demostración Sistema de referencia Polar. Radio de curvatura Velocidad y aceleración (expresadas vectorialmente) Áreas diferenciales. Área bajo la curva Norma de 1 vector.

Sabemos que el área barrida por el radio vector, en cierto intervalo de tiempo será igual el cualquier porción de la trayectoria evaluado en el mismo intervalo de tiempo Pero el problema es como evaluar esa área si no se parece a las áreas que estamos acostumbrados a manejar

Para eso partimos de que el área recorrida por un planeta con respecto a un punto es muy similar a el área de un sector circular, para mayor simplicidad y demostrar el concepto punzaremos que la trayectoria que sigue el móvil es circular. Como el área a la que mas se acerca Es al área de un triangulo podemos utilizar Esta formula para expresar el área Base r altura dθ Que resultaría:

Ahora por los conceptos aprendidos anteriormente sabemos que la integral representa una suma de riemman en un intervalo dado, que en este caso será el tiempo, lo que nos da la expresión:

Y como en este tipo el movimiento no lleva una velocidad constante, es fácil imaginar que un instante se moverá con mayor o menor velocidad, que el inicio, y se puede aplicar la formula antes citada para obtener resultados iguales, siempre y cuando se evalúe en intervalos iguales, no demostramos esto ya que nuestros conocimientos no alcanzan a cubrir los requerimientos necesarios

Demostración tercera ley de kepler Para un planeta de masa m a una distancia r del Sol, la atracción gravitatoria será la que obliga al planeta a describir su órbita, por lo que ha de ser la fuerza centrípeta que actúa sobre el planeta. Igualando ambas fuerzas, la masa del planeta puede simplificarse (ya que está multiplicando en ambos miembros de la igualdad) y podemos obtener el cuadrado de la velocidad angular del planeta , lo que nos indica que cuanto mayor sea la distancia al Sol (r), menor será la velocidad del planeta

Fin