División de un segmento en una razón dada Hay 2 maneras de que existen para comparar dos cantidades: la diferencia o resta y la razón. Ejemplos para entender estos dos conceptos: Juan tiene 10 años y su papá 40. Si se entiende la diferencia entre ambas edades, tenemos como resultado 30 años. Pero si se entiende la razón entre ambas edades tenemos 2 cocientes: 40 𝑎ñ𝑜𝑠 10 𝑎ñ𝑜𝑠 =4 Es decir , el papá tiene el cuádruple de edad Que su hijo

o 10 𝑎ñ𝑜𝑠 40 𝑎ñ𝑜𝑠 = 1 4 es decir, Juan tiene la cuarta parte de la edad de su papá La razón es la manera de comparar dos cantidades a través de sus cociente.

División de un segmento en una razón dada Un punto sobre un segmento divide a este en dos partes: A B M A B P Pueden ambas partes ser iguales Una parte puede ser mayor que la otra Las longitudes se comparan mediante un cociente que expresa matemáticamente la idea intuitiva de “cuantas veces cabe un segmento en el otro”

En el primer caso observamos que la porción más pequeña es la mitad de la mayor. Esto se expresa así: los segmentos AP y PB están en la razón 1:2 ó también En el segundo caso notamos que ambas porciones son iguales, es decir M es el punto medio de AB. Expresamos esta situación diciendo que los segmentos AM y MB están en la razón 1:1 ó bien, que

Estas ideas se extienden considerando que el punto de división esta fuera del segmento, a uno y otro lado del mismo, sobre la recta que lo contiene. Este caso se distingue del anterior porque aquellas razones se consideran positivas, en tanto que éstas se consideran negativas. A B P A B P

La razón se define como: P P2 P1 P1P PP2 La razón se define como: P1P : PP2 siendo P1P = x – x1 , PP2 = x2 –x

Finalmente la coordenada del punto de división P es:

El punto P(-3) se encuentra entre los puntos P1(-5) y P2(0), encuentre la razón en que el punto P divide al P1P2

Dados x= -2, x1= 3, x2= -1 Se sustituyen valores en la formula: ¿Cuál es la razón r = P1P:PP2 en que el punto P(-2) divide al segmento P1P2 , cuyas coordenadas son : P1(3) y P2(-1)? Dados x= -2, x1= 3, x2= -1 Se sustituyen valores en la formula: El signo negativo de la razón indica que el punto P(-2) se encuentra sobre la misma recta pero fuera del segmento P1P2

Determina la coordenada del punto de división del segmento definido por los puntos Si están en la razón Se sustituye en la formula de la coordenada