Teorías de fallas estáticas Tema III Teorías de fallas estáticas

Teorías fundamentales de falla Mecánica de materiales – Falla estática Teorías fundamentales de falla 1) Teoría del “Esfuerzo normal” para materiales frágiles y la teoría del “Esfuerzo Normal Máximo” para materiales dúctiles propuestas por Rankine. 2) Teoría de la “Deformación Unitaria Máxima” para materiales dúctiles propuesta por Saint-Venant. 3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo” para materiales dúctiles propuesta por coulomb en 1773 y por Tresca en 1868.

teorías fundamentales de falla Mecánica de materiales – Falla estática teorías fundamentales de falla 4) Teoría de la “Fricción Interna” para materiales frágiles establecida por Mohr y Coulomb. 5) Teoría de la “Energía Máxima de Deformación” para materiales dúctiles propuesta por Beltrami. 6) Teoría de la “Energía Máxima de Distorsión” para materiales dúctiles, establecida por Huber, Von mises y Hencky. 7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico” para materiales dúctiles de Von Mises y Henky.

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo Normal (materiales frágiles) y Normal Máximo (materiales dúctiles) “La falla en una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el Esfuerzo Normal o Normal Máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de falla axial, determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.

teoría del esfuerzo normal Mecánica de materiales – Falla estática teoría del esfuerzo normal Esta teoría afirma que la falla para materiales dúctiles ocurre siempre que: Y para materiales frágiles:

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos triaxiales (frágil) Región de no falla FS>1 Superficie de Falla FS=1

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos triaxiales (dúctil)

Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil) Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil)

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos biaxiales (dúctil)

teoría del esfuerzo normal Mecánica de materiales – Falla estática teoría del esfuerzo normal Si el criterio de falla es la fluencia se tiene: Si el criterio de falla es la ruptura

Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles) Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial es alcanzada cuando la deformación unitaria máxima en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual a la deformación unitaria de falla (σf/E), determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.

Deformación unitaria en el punto de falla Mecánica de materiales – Falla estática Deformación unitaria en el punto de falla Haciendo una prueba de esfuerzo axial, la deformación unitaria en el punto de falla sería

teoría deformación unitaria Mecánica de materiales – Falla estática teoría deformación unitaria Según esta teoría la falla se produce cuando: Expresando estas ecuaciones en función de los esfuerzos principales

Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2) Mecánica de materiales – Falla estática Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2)

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por esfuerzos triaxiales (dúctil)

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por Esfuerzos biaxiales (dúctil)

Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima Según esta teoría existe seguridad siempre que: El esfuerzo de corte límite viene dado por:

Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles) Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial) es alcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f), determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”

teoría del esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Falla estática teoría del esfuerzo de corte máximo Para que la falla por fluencia ocurra según la Teoría del Esfuerzo de Corte Máxima debe ocurrir que: De la misma forma, en función de los esfuerzos principales se tiene que:

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos triaxiales (dúctil)

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos biaxiales (dúctil) σ3=σf σ3-σ1= σf σ1= σf σ1=-σf σ1-σ3= σf σ1=- σ3 σ3=-σf

teoría del esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Falla estática teoría del esfuerzo de corte máximo

Mecánica de materiales – Falla estática Combinación de las teorías del esfuerzo normal máximo y la del esfuerzo de corte máximo σ3 σf σ1 σ1 σf σf σf σ3

Combinación de teorías normal máximo y corte máximo Mecánica de materiales – Falla estática Combinación de teorías normal máximo y corte máximo

teoría del esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Falla estática teoría del esfuerzo de corte máximo En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas las combinaciones caen sobre la línea diagonal a 45º que pasa por el origen. El esfuerzo de corte límite ocurre en un punto sobre la superficie en el cuadrante II y IV

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de Falla de la Fricción Interna (Mohr-Coulomb) (materiales frágiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el mayor círculo de Mohr asociado con el estado de esfuerzos en un punto cualquiera de la muestra, se hace tangente o mayor al contorno de la envolvente de los círculos de prueba, determinado en un ensayo de tensión axial, compresión axial y torsión del mismo material”.

Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil) Mecánica de materiales – Falla estática Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil)

teoría de la fricción interna Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayo de tensión uniaxial; el círculo O – σuc, se obtiene del ensayo de compresión uniaxial y el círculo O – u se obtiene del ensayo de corte puro. Con estos círculos se origina una envolvente a partir de los tres círculos de prueba, una en la parte superior y otra en la parte inferior. De esta forma la región de falla esta ubicada en la parte exterior de la envolvente de los círculos sobre el plano σ -  como se muestra en la figura siguiente

teoría de la fricción interna Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna

teoría de la fricción interna Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial, cuando σ1 es de tensión y σ3 es a compresión, el máximo esfuerzo de corte y el esfuerzo normal están dados por:

teoría de la fricción interna Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna Si sustituimos la ecuación de la recta  = aσ+b con las ecuaciones anteriores obtendríamos: Para evaluar las constantes a y b se deben tomar las siguientes condiciones de borde

Valores de las constantes a y b Mecánica de materiales – Falla estática Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones de borde anteriores obtendríamos:

teoría de la fricción interna Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna Si estas constantes son sustituidas se puede determinar completamente la ecuación de la envolvente de falla por fractura Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se hallan directamente de la figura siguiente

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de falla de Mohr-Coulomb con teoría de falla del Esfuerzo Normal superpuesta σ1 = -σ3 σ1 = σuc σ3 = σuc

teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal

teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal La resistencia última al corte se obtiene como sigue:

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de falla de la Energía Máxima de Deformación (materiales dúctiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alacanzada cuando la energía de deformación por unidad de volumen en un punto cualquiera de la muestra, se hace mayor o igual a la energía de deformación por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.

Energía de deformación Mecánica de materiales – Falla estática Para expresar matemáticamente la teoría, es necesario desarrollar una expresión para la energía elástica total de deformación por unidad de volumen en un estado general de esfuerzos. Esta energía es igual al área situada debajo de la curva esfuerzo-deformación.

Energía de deformación en el cubo elemental Mecánica de materiales – Falla estática Energía de deformación en el cubo elemental En un cubo elemental que esté sometido sólo a esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, la energía de deformación viene dada por:

teoría de la energía de deformación Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la energía de deformación La ecuación anterior describe la energía elástica total absorbida por el elemento. Puesto que el volumen del elemento es (dAdx), la energía de deformación por unidad de volumen está dada por:

Energía de deformación para un elemento sometido a corte Mecánica de materiales – Falla estática Energía de deformación para un elemento sometido a corte De igual manera, la energía de deformación por unidad de volumen de un elemento sometido a corte puro está dada por:

Energía de deformación para un estado general de esfuerzos Mecánica de materiales – Falla estática Energía de deformación para un estado general de esfuerzos Las relaciones de la deformación uniaxial pura y de corte puro se pueden combinar por el principio de superposición para dar la energía de deformación elástica en una distribución general de un estado de esfuerzo en tres dimensiones.

Energía de deformación en función de los esfuerzos principales Mecánica de materiales – Falla estática Energía de deformación en función de los esfuerzos principales En función de los esfuerzos y deformaciones principales tendríamos:

energía de deformación Mecánica de materiales – Falla estática energía de deformación Para una prueba de tensión uniaxial, el único esfuerzo principal que no es cero, es aquel que se hace igual a la resistencia a la fluencia σf en el punto de fluencia, y la energía total de deformación por unidad de volumen que le corresponde es:

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Energía Máxima de Deformación para falla por esfuerzos triaxiales (dúctil)

Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad para estado de esfuerzo triaxial según teoría de la energía de deformación

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Energía Máxima de Deformación para esfuerzos biaxiales (dúctil)

Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad para estado de esfuerzo biaxial según teoría de energía de deformación La resistencia límite al corte sería:

Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles) Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando la energía de distorsión por unidad de volumeb en un punto cualquiera de la muestra, se hace igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.

Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la energía de distorsión La teoría de la energía de distorsión se originó a partir de observación de que los materiales pueden soportar presiones hidrostáticas muy elevadas sin producir ningún efecto sobre la fluencia. Así se postuló que la fluencia no era de ninguna manera, un fenómeno de tensión o de compresión simple, sino, mas bien que estaba relacionada de algún modo con la distorsión del elemento esforzado. Debido a esto, en el desarrollo de esta teoría, la energía total de deformación elástica puede ser dividida en dos componentes:

teoría de la energía de deformación Mecánica de materiales – Falla estática teoría de la energía de deformación La energía de distorsión o de cambio de forma. La energía de variación de volumen. UT=U’T+U’’T

Energía asociada con la variación de volumen Mecánica de materiales – Falla estática Energía asociada con la variación de volumen

Mecánica de materiales – Falla estática Energía de distorsión

Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxial Mecánica de materiales – Falla estática Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxial

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos triaxiales (dúctil)

Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría de energía de distorsión

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos biaxiales (dúctil) σ1 = -σ3

Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad para un estado de esfuerzo biaxial según teoría de energía de distorsión El límite a la fluencia por corte puro viene dada por:

Mecánica de materiales – Falla estática Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Octaédrico de Von Mises y Hencky (materiales dúctiles) “La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédrico en un punto cualquiera de la mustra, se hace igual o mayor al esfuerzo octaédrico de falla, determinada por un prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.

Esfuerzos octaédricos Mecánica de materiales – Falla estática Esfuerzos octaédricos

Mecánica de materiales – Falla estática Planos de corte octaédricos guiados a la teoría de falla de Mises-Hencky

Mecánica de materiales – Falla estática Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría del esfuerzo octaédrico

Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxial Mecánica de materiales – Falla estática Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxial Dos planteamientos pueden ser empleados para comparar las teorías de falla, uno de ellos es el siguiente: Teoría de esfuerzo de corte máximo. f=1,00 σf Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf Teoría de la energía de deformación. f=0,608 σf Teoría de la energía de distorsión f=0,577 σf Teoría del esfuerzo cortante máximo f=0,50 σf

Mecánica de materiales – Falla estática Comparación de las teorías de falla gráficamente sobre un sistema coordenado normalizado:

Observaciones acerca de las teorías de falla Mecánica de materiales – Falla estática Observaciones acerca de las teorías de falla La evaluación de las teorías de falla, con clara evidencia experimental llevan a las observaciones siguientes: Para materiales isotrópicos que fallan por fractura frágil, la mejor teoría a usar es la teoría del Esfuerzo Normal. Para materiales que fallan por fractura frágil pero que presentan una resistencia última en compresión, la mejor teoría a usar es la de Mohr-Coulomb.

observaciones acerca de las teorías de falla Mecánica de materiales – Falla estática observaciones acerca de las teorías de falla Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoría de la Energía de Distorsión. Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de corte máximo es tan valida como la teoría de la energía de distorsión.

observaciones acerca de las teorías de falla Mecánica de materiales – Falla estática observaciones acerca de las teorías de falla Como un método práctico, puede ser usada la teoría de Mohr-Coulomb en aquellos materiales isotrópicos que presenten una ductilidad menor al 5% de elongación sobre una longitud calibrada de 2 pulgadas. Como un método práctico, puede ser usada la teoría de la energía de distorsión o la del esfuerzo de corte máximo en aquellos materiales isotrópicos que presenten un ductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de su longitud calibrada. Donde sea posible debe ser llevado a cabo un análisis de mecánica de la fractura.

Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctiles Mecánica de materiales – Falla estática Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctiles

Comparación de las teorías para una variedad de materiales frágiles Mecánica de materiales – Falla estática