Estadística - Probabilidad Programa de Capacitación Docente MODULO IV Estadística - Probabilidad José Luis Morón jmoron@pucp.edu.pe Conceptos Teorema de Bayes Combinatoria Page 1

Programa de Capacitación Docente Conceptos La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables Experimento aleatorio: es todo proceso que se puede repetir indefi nidamente con resultados imprevisibles. Ejm: Lanzamiento de una moneda, de un dado, la extracción de una bola de bingo. Blaise Pascal 1623-1662 Page 2

Programa de Capacitación Docente Conceptos Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espacio muestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento. Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω={1; 2; 3; 4; 5; 6} Pierre de Fermat 1601-1665 Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio E a cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento. Evento A: Obtener cara. A = {c} Page 3

Programa de Capacitación Docente Conceptos Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si A y B son conjuntos disjuntos, es decir si: A ∩ B = { } o A ∩ B = ø Los eventos A (que salga número par) y B (que salga número impar), son mutuamente excluyentes, en el lanzamiento de un dado. A={1; 3; 5} B={ 2; 4; 6} Page 4

Propiedades de la Probabilidad Programa de Capacitación Docente Propiedades de la Probabilidad Probabilidad: dado el espacio muestral Ω de un experimento aleatorio E, la probabilidad de un evento A se define como el número que satisface las siguientes propiedades: P(A) >=0 P(Ω) =1 P(A U B) = P(A) + P(B), A,B mutuamente excluyentes Luego P(ø) =0 Si A ⊂ B, entonces, P (A) ≤ P(B) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(Complemento A) = 1 – P(A) Page 5

Sucesos Compatibles - Ejemplo Programa de Capacitación Docente Sucesos Compatibles - Ejemplo Consideremos el experimento de lanzar un dado. El espacio muestral es Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o no menor que 4? A : “Obtener un número par” A = {2; 4; 6 } B : “Obtener un número no menor que 4” B = {4; 5; 6} Page 6

Probabilidad Condicional Programa de Capacitación Docente Probabilidad Condicional Sea B un evento cuya probabilidad es distinta de cero, y sea A cualquier evento. La posibilidad condicional del evento A, dado el evento B, se define como: Independencia Page 7

Programa de Capacitación Docente Teorema de Bayes Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión: Thomas Bayes 1702-1761 Page 8

Programa de Capacitación Docente Teorema de Bayes Tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. El porcentaje de desperfectos de producción de estas máquinas son, respectivamente, 2%, 4% y 5%. Se seleccionó un artículo y resulto bueno. Determina la probabilidad que el artículo haya sido producido por la máquina C. P(C / Bueno) = ? Page 9

Teorema de Bayes P(C/Bueno) = P(C). P(Bueno/C) P(Bueno) Programa de Capacitación Docente P(C/Bueno) = P(C). P(Bueno/C) P(Bueno) = 0.5 0.98 + 0.3 0.96 + 0.2 0.95 = 0.968 P(Bueno/C) = 0.95 Reemplazando: P(C/Bueno) = 0.2 0.95 / 0.968 = 0.19 Teorema de Bayes Page 10

Programa de Capacitación Docente Combinatoria En las aplicaciones de las probabilidades, a veces es necesario recurrir a procedimientos matemáticos que nos permiten realizar conteos de casos complejos a partir de procesos simples. A este conjunto de procedimientos se le conoce como Análisis Combinatorio o Combinatoria Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles. (El orden es importante) Page 11

Permutación - Combinación Programa de Capacitación Docente Permutación - Combinación Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a partir de un grupo único de n objetos posibles. (El orden es importante) Combinación: el número de modos para elegir r objetos de un grupo de n objetos Page 12