I. E JULIO CESAR ESCOBAR Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución y igualación. SISTEMA DE ECUACIONES Piensa

Doña Florinda compró tres kilos de manzanas rojas y cinco kilos de manzanas verdes y gastó $3.400 Por otro lado, la bruja del 71 compró seis kilos de manzanas rojas y cuatro kilos de manzanas verdes y gastó $3.800 ¿Cuánto cuesta cada kilo de fruta ?

3x+5y=3400 6x+4y=3800 En donde, X= precio del kilo de manzana roja Y= precio del kilo de manzana verde Ahora escribamos esto en lenguaje algebraico:

Para dar respuesta a este problema utilizaremos los distintos métodos de resolución, que veremos a continuación: Método por reducción Método por igualación Método de sustitución

Universidad de Los Lagos A continuación veremos los pasos a seguir: 1.Debemos “igualar” una de las variables, ya sea “X” ó “Y”,solo en su coeficiente numérico y NO en su signo, de este modo quedará una variable positiva y otra negativa, para poder eliminar una de las variables. Resolvamos el problema inicial: 3x+5y=3400 6x+4y=3800 Si queremos eliminar “X”, ¿Qué valor debemos utilizar? a) 2b) (-2)

La alternativa correcta es la alternativa “b”, ya que nuestro sistema quedará de la siguiente forma: 3x+5y=3400 *(-2) 6x+4y=3800 (-6)x+ (-10)y =6800*(-2) 6x+ 4y = x-10y= x+4y= Ahora debemos sumar nuestras ecuaciones en forma vertical.

7 -6x -10y= x +4y= y =-3000 Y= -3000/-6 Y=500 3.Luego despejamos la variable “Y”:

8 4. Finalmente para obtener el valor de nuestra segunda variable “X”, debemos reemplazar “y” en unas de las ecuaciones. 3x+5y=3400 3x+ 5*(500) =3400 3x+2500=3400 3x= x=900 x=900/3 x=300

9 Los pasos a seguir son: 1.Debemos despejar la misma variable en ambas ecuaciones, es decir: Veamos nuestro ejemplo, entonces: 3x+5y= x+4y= 3800 La primera ecuación nos resulta: x= y 3 La segunda ecuación nos resulta: 6x+4y= 3800 X= y 6

10 2.Igualar las ecuaciones resultantes del paso 1: y = y Despejar la nuestra incógnita: 6*(3400-5y) = 3*(3800-4y) y = y =-12y+30y 9000=18y 9000/18=y 500=y

11 4. Para poder encontrar el valor de la variable “X” debemos reemplazar en una de las ecuaciones iniciales: Por ejemplo: 3x+5y= 3400 y= 500 3x+ 5*(500) =3400 3x =3400 3x= x=900/3 x= 300

12 A continuación veremos los pasos a seguir: 1.Despejar una variable y luego reemplazar esta en la otra ecuación: 3x+5y=3400 6x+4y=3800 Despejemos en 1, la variable “x”: X= y, luego reemplazamos esto en *(3400-5y) +4y=

13 2.Resolver la ecuación resultante del paso 1: 6*(3400-5y) +4y= *(3400-5y) +4y= y +4y= y= y= y=-3000 y= y=500

14 3. Como en los pasos anteriores debemos reemplazar nuestro valor de “Y” en una de las ecuaciones iniciales, de este modo obtendremos el valor de “X”: 3x+5y= 3400 y= 500 3x+5*(500)=3400 3x =3400 3x= x=900/3 x= 300

15 X = 300 Por lo tanto, el valor de las manzanas rojas es de $300 el kilo. Y = 500 Por lo tanto, el valor de las manzanas es de $500 el kilo Respuesta:

Finalmente podemos darnos cuenta de que los sistemas de ecuaciones nos servirán muchísimo para nuestra vida diaria sobre todo cuando tenemos que encontrar dos resultados para una sola pregunta como veremos en las próximas clases también podremos encontrarle aplicación en otras áreas como la minería, agricultura, en una compra de supermercado, etc.

Ejercicios propuestos 1En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). 2El día del estreno de la película ASU MARE se vendieron 300 entradas y se recaudaron nuevos soles Si los adultos pagaban 50 soles los niños 10 soles ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron? 3.El señor Molina y su padre viajan a Huancayo para comprar ganado vacuno e incrementar su negocio de ganado en Lima.el señor Molina adquiere 2 vacas y 3 toros y paga por todos⁄2300.su padre adquiere 4 vacas y 2 toros por un total de s⁄ Cuál es el precio de una vaca y un toro? 4Crear un problema con el siguiente el sistema y resolver 17