12 12 Funciones lineales y afines Funciones lineales y afines INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales y afines Funciones lineales y afines El repertorio de aplicaciones de las funciones lineales es muy amplio. Pueden diseñarse tarifas de consumo (eléctrico, de agua, telefónico, de sociedades de ocio...) o simplificar tarfas más elaboradas como la del impuesto sobre la renta (I.R.P.F.). 12 12 LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD SALIR

Enlace a una biografía de Newton INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Un descubrimiento y dos genios: Newton y Leibniz Busca en la Web Enlace a la historia de la controversia entre Newton y Leibniz (Imagen de Leibniz) Enlace a una biografía de Newton ANTERIOR SALIR

Funciones lineales y afines INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Esquema de contenidos Funciones lineales y afines Funciones lineal y afín Pendiente Ordenada en el origen Ecuaciones y gráficas Elementos gráficos de la ecuación Recta que pasa por dos puntos Obtención de la ecuación Rectas secantes y paralelas Condiciones de intersección Condiciones de paralelismo Rectas paralelas a los ejes Aplicaciones Tarifas con dos tramos Tarifas con tres o más tramos ANTERIOR SALIR

Diferentes posiciones de la recta y = mx + n INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Diferentes posiciones de la recta y = mx + n Como sabes, en la expresión y = mx + n de la función afín, cuya gráfica es una línea recta, m representa la pendiente de esa recta y n es la ordenada en el origen. Para concretar: - si m es un número positivo la recta es creciente (vista de izquierda a derecha); - si m es negativo, la recta es decreciente (es decir, desciende); - si m es cero, la recta es horizontal. En cuanto a n, la ordenada en el origen: - si n es un número positivo la recta corta al eje vertical por encima del origen; - si n es negativo, la recta corta a ese eje por debajo del origen; - si m es cero, la recta pasa por el origen de coordenadas. La siguiente actividad tiene como objetivo que identifiques la representación de las funciones afines (en todas sus variantes) con sus gráficas. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Diferentes posiciones de la recta y = mx + n INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Diferentes posiciones de la recta y = mx + n Tienes las nueve siguientes ecuaciones de rectas (que recogen todas las posibilidades según los signos de m y de n) y has de hacerlas corresponder con la gráfica correcta: c a b d e f g h i y = 0,5x y = x+2 y = 2x+3 y = 2,5 y = x3 y =3x1 y =  0,8x y =  3 y = 0 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Diferentes posiciones de la recta y = mx + n INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Diferentes posiciones de la recta y = mx + n Tienes las nueve siguientes ecuaciones de rectas (que recogen todas las posibilidades según los signos de m y de n) y has de hacerlas corresponder con la gráfica correcta: a b c d e f g h i y = 0,5x y = x+2 y = 2x+3 y = 2,5 y = x 3 y =  3x1 y =  0,8x y =  3 y = 0 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 Si tienes que representar esta función, y = 2x + 3, no es necesario que lleves todos estos puntos al plano cartesiano. Como sabes, su gráfica es una línea recta y basta con calcular dos puntos de ella y prolongar la recta que pasa por ellos. Por ejemplo, con (0, 3) y (1, 5) es suficiente: SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 Si tienes que representar esta función, y = 2x + 3, no es necesario que lleves todos estos puntos al plano cartesiano. Como sabes, su gráfica es una línea recta y basta con calcular dos puntos de ella y prolongar la recta que pasa por ellos. Por ejemplo, con (0, 3) y (1, 5) es suficiente. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 Si tienes que representar esta función, y = 2x + 3, no es necesario que lleves todos estos puntos al plano cartesiano. Como sabes, su gráfica es una línea recta y basta con calcular dos puntos de ella y prolongar la recta que pasa por ellos. Por ejemplo, con (0, 3) y (1, 5) es suficiente. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 Observa en la tabla, que, al mismo tiempo que los valores de la variable x van aumentando de 1 en 1, la variable y aumenta de 2 en 2. El coeficiente de la x en la ecuación de la recta (llamado pendiente), que en este caso es 2, es el responsable de esta manera de crecer la ordenada y. Ello sugiere otra manera cómoda de representar una función afín. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 A partir de un punto conocido de la función afín, por ejemplo el (0, 3), si nos movemos una unidad hacia la derecha y luego, m hacia arriba o hacia abajo, según que sea m positivo o negativo (en el ejemplo, m =2), obtenemos un nuevo punto. Con estos dos puntos bastará para dibujar la recta. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Representaciones de la función afín INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Representaciones de la función afín Dada la función afín y = 2x + 3, haz una tabla de valores tomando para la variable x valores enteros desde 4 hasta 4. x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 5 5 7 9 11 A partir de un punto conocido de la función afín, por ejemplo el (0, 3), si nos movemos una unidad hacia la derecha y luego, m hacia arriba o hacia abajo, según que sea m positivo o negativo (en el ejemplo, m =2), obtenemos un nuevo punto. Con estos dos puntos bastará para dibujar la recta. Comprueba que todos los puntos de la anterior tabla, pueden obtenerse con este procedimiento. ANTERIOR SALIR

Funciones lineales por tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales por tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. a) Calcula el consumo que tiene un cliente que paga 9 € si se le aplica la tarifa de 0,10€ / minuto, y al que, por tanto, le es indiferente cómo le calculen el gasto mensual. b) Describe la tarifa dando el importe en función de los minutos consumidos. c) Representa gráficamente esta función. d) “Pague 0,10 € por cada minuto que hable. Cuando su gasto llegue a 9 €, todas sus llamadas serán gratis.” ¿Cuál sería la gráfica de esta nueva función? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. a) Calcula el consumo que tiene un cliente que paga 9 € si se le aplica la tarifa de 0,10€ / minuto, y al que, por tanto, le es indiferente cómo le calculen el gasto mensual. Los minutos consumidos para dar un gasto de 9 € serán 9 / 0,10 = 90 minutos. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. b) Describe la tarifa dando el importe en función de los minutos consumidos. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. b) Describe la tarifa dando el importe en función de los minutos consumidos. A partir de la solución del apartado anterior, podemos decir que: Si el tiempo consumido es inferior a 90 minutos, se pagan 9 €. Para tiempos superiores, se paga a 0,10 € / minuto. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. c) Representa gráficamente esta función. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. c) Representa gráficamente esta función. Se ha tomado la gráfica de la función constante y = 9 para los valores de x entre 0 y 90. De 90 en adelante se ha tomado la función lineal y = 0,10 x. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. d) “Pague 0,10 € por cada minuto que hable. Cuando su gasto llegue a 9 €, todas sus llamadas serán gratis.” ¿Cuál sería la gráfica de esta nueva función? Esta nueva función utiliza las mismas funciones que la anterior ( y = 9 e y = 0,10 x ), pero de distinta forma. ¿Podrías dibujar ya su gráfica? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Funciones lineales a tramos INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Funciones lineales a tramos En muchos casos de la vida cotidiana, se utilizan las funciones afines para expresar tarifas. A veces, incluso, se diseñan combinaciones de ellas si la situación lo requiere. Una compañía de telefonía móvil tiene una tarifa mensual en la que cobra 0,10 € por minuto de llamada. Sin embargo, la compañía cobra un mínimo de 9 €, si el gasto no llega a esa cantidad. d) “Pague 0,10 € por cada minuto que hable. Cuando su gasto llegue a 9 €, todas sus llamadas serán gratis.” ¿Cuál sería la gráfica de esta nueva función? Esta nueva función utiliza las mismas funciones que la anterior ( y = 9 e y = 0,10 x ), pero de distinta forma. Su gráfica es: ANTERIOR SALIR

TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Adaptación Has visto como podemos definir una tarifa para una compañía telefónica con dos funciones afines. Se pueden utilizar también funciones afines para diseñar tarifas más complejas, como la que aparece en el texto en la actividad 73 de esta Unidad. La tarifa del Servicio de Aguas que allí se describe puede interpretarse es como sigue: TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA Fijo.......................................... 10 € Los primeros 80 m3................. 0,90 € / m3 Los siguientes 40 m3............... 1,50 € / m3 Los restantes metros cúbicos.. 2 € / m3 Representa la función que expresa el importe de la factura en función del consumo. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Adaptación La tarifa del Servicio de Aguas que allí se describe puede interpretarse es como sigue: TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA Fijo.......................................... 10 € Los primeros 80 m3................. 0,90 € / m3 Los siguientes 40 m3............... 1,50 € / m3 Los restantes metros cúbicos.. 2 € / m3 Representa la función que expresa el importe de la factura en función del consumo. Vamos a familiarizarnos con la situación descrita. Para ello, calcula el importe de la factura para consumos de 35 €, de 100 € y de 150 €. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Adaptación La tarifa del Servicio de Aguas que allí se describe puede interpretarse es como sigue: TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA Fijo.......................................... 10 € Los primeros 80 m3................. 0,90 € / m3 Los siguientes 40 m3............... 1,50 € / m3 Los restantes metros cúbicos.. 2 € / m3 Representa la función que expresa el importe de la factura en función del consumo. Vamos a familiarizarnos con la situación descrita. Para ello, calcula el importe de la factura para consumos de 35 m3, de 100 m3 y de 155 m3. Para 35 m3, el importe es: 10 + 0,90 · 35 = 10 + 31,50 = 41,50 €. Para 100 m3, el importe es: 10 + 0,90 · 80 + 1,50 · 20 = 10 + 72 +30 = 112 €. Para 155 m3, es: 10 + 0,90 · 80 + 1,50 · 40 + 2 · 35 = 10 + 72 + 60 + 70 = 212 €. Como has podido ver, hay tres modos de calcular el importe según el tramo en el que está el consumo. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Adaptación La tarifa del Servicio de Aguas que allí se describe puede interpretarse es como sigue: TARIFA DEL CONSUMO DE AGUA Fijo.......................................... 10 € Los primeros 80 m3................. 0,90 € / m3 Los siguientes 40 m3............... 1,50 € / m3 Los restantes metros cúbicos.. 2 € / m3 Representa la función que expresa el importe de la factura en función del consumo. Vamos a familiarizarnos con la situación descrita. Para ello, calcula el importe de la factura para consumos de 35 m3, de 100 m3 y de 135 m3. Para 35 m3, el importe es: 10 + 0,90 · 35 = 10 + 31,50 = 41,50 €. Para 100 m3, el importe es: 10 + 0,90 · 80 + 1,50 · 20 = 10 + 72 +30 = 112 €. Para 135 m3, es: 10 + 0,90 · 80 + 1,50 · 40 + 2 · 15 = 10 + 72 + 60 + 30 = 172 €.c Como has podido ver, hay tres modos de calcular el importe según el tramo en el que está el consumo, x. Si el consumo, x, es inferior a 80 m3 10 + 0,90 x Si el consumo, x, está entre 80 y 120 m3 82 + 1,50 x Si el consumo, x, es superior a 120 m3 142 + 2 x SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Adaptación Representa la función que expresa el importe de la factura en función del consumo. Hay tres modos de calcular el importe según el tramo en el que está el consumo, x. Si el consumo, x, es inferior a 80 m3 10 + 0,90 x Si el consumo, x, está entre 80 y 120 m3 82 + 1,50 x Si el consumo, x, es superior a 120 m3 142 + 2 x Para representar la función que da el importe, tomaremos en cada tramo el fragmento de la función afín correspondiente: Se usan los puntos (0, 10) y (80, 82), para el primer tramo; (80, 82) y (120, 142), para el segundo; (120, 142) y (135, 172) para el tercero. ANTERIOR SALIR

Matemáticas divertidas INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Enlaces de interés Multitud de enlaces IR A ESTA WEB Matemáticas divertidas IR A ESTA WEB ANTERIOR SALIR

Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad2a.htm En la sede de Chile de la Editorial Santillana, se nos ofrece una interesante actividad sobre las funciones afines. Para conocerlo, sigue este enlace. ANTERIOR SALIR