EVALUACIÓN DE RIESGOS CUANTITATIVO VALORACIÓN DE LA EXPOSICIÓN Obtención de datos cinéticos y modelos matemáticos de inactivación

COMMISSION REGULATION (EC) No 2073/2005 of 15 November 2005 on microbiological criteria for foodstuffs Article 3 As necessary, the food business operators responsible for the manufacture of the product shall conduct studies in accordance with Annex II in order to investigate compliance with the criteria throughout the shelf-life. In particular, this applies to ready-to-eat foods that are able to support the growth of Listeria monocytogenes and that may pose a Listeria monocytogenes risk for public health.

Annex II When necessary on the basis of the above mentioned studies, the food business operator shall conduct additional studies, which may include: predictive mathematical modelling established for the food in question, using critical growth or survival factors for the micro-organisms of concern in the product,

Sistemas de gestión de la seguridad alimentaria Análisis de Peligros y Puntos Críticos de Control (APPCC) Microbiología Predictiva Análisis de Riesgos

Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos

La forma tradicional de establecer la seguridad de un alimento es mediante un test de desafio. El método más antiguo partió de la conservación por calor y es lo que se denomina: Inoculación experimental de envases

La técnica tiene inconvenientes:  Es cara  Es lenta  Requiere habilidades microbiológicas y laboratorios  Cuando se cambia la formulación de un producto o un perfil tiempo-temperatura, es necesario repetir el test de desafio

La alternativa es entender con más profundidad la respuesta de los microorganismos a los factores medioambientales del alimento y desarrollar la forma de interpolar respuestas microbiológicas mediante cálculo Microbiología Predictiva

Microbiología Predictiva Campo de estudio que combina elementos de microbiología, matemáticas y estadística para desarrollar modelos que describan y predigan matemáticamente el crecimiento o muerte de los microorganismos, cuando se les somete a condiciones medioambientales específicas (Whiting, 1995).

Los modelos son descripciones simplificadas de la realidad La realidad descrita por el modelo se denomina Espacio Modelo

 Los modelos deben reflejar lo que está pasando y deben ser capaces de predecir con precisión los estados presente y futuro de las cosas que describen  Hay que ser conscientes de que un modelo no puede dar una representación total de la realidad. Un modelo particular puede describir algún aspecto de forma muy adecuada mientras que falla en la descripción de otro

Suposiciones en modelización Espacio Modelo: No se puede modelizar todo, hay que escoger la parte de la realidad que se quiere modelizar. A esto se le llama espacio modelo y no tiene conexión con el resto de la realidad realidad espacio modelo

Espacio modelo: Se define como todos los factores que juegan un papel en la determinación del fenómeno bajo estudio, los conocidos y no conocidos

Fenómeno: Los modelos se usan para describir relaciones entre variables dependiente e indepen- dientes. V. dependiente Fenómeno Relación V. Independientes

Para poder modelizar un fenómeno en un espacio modelo determinado es necesario entender la relación entre las variables dependiente e independientes. Este ejercicio ayudará a elegir el modelo apropiado Variables dependientes: tiempo de tratamiento Variables independientes: Número final de microorganismos

Microbiología predictiva El objetivo de la microbiología predictiva es conseguir un Espacio Modelo para describir un Fenómeno de forma matemática o probabilística Espacio modelo Medioambiente Temperatura pH aw Fenómeno Respuesta microbiana Crecimiento Inactivación

La microbiología predictiva no revela, generalmente, comportamientos inesperados de los microorganismos. La microbiología predictiva cuantifica los efectos de la interacción entre dos o más factores y permite la interpolación de combinaciones de factores no comprobados de forma explícita

Clasificación de los modelos Modelos de nivel primario: Modelo de Bigelow Modelos de nivel secundario: Superficie de respuesta Modelos de nivel terciario: Tejedor y Martínez

Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. inactivación crecimiento

Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos primarios a los cambios en las condiciones medioambientales superficie de respuesta Ln(spec.g.rate) pH NaCl (%)

Los modelos terciarios son programas de ordenador que transforman a los modelos primarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo Inactivación crecimiento

Consideraciones en el desarrollo de un modelo  Precisión en el ajuste.  Capacidad de predecir combinaciones de factores no probadas.  Incorporación de todos los factores relevantes.  Que tenga el mínimo número de parámetros.  Especificación del término de error.  Los parámetros deben tener un significado biológico y valores realistas.  Reparametrización si se mejoran las propiedades estadísticas.

Termoresistencia y Modelos primarios de inactivación/supervivencia 1 2 3 4 5 6 7 116 118 120 122 124 126 128 Temperatura (ºC) Log N experimental predicho Bacillus stearothermophilus

Obtención de datos cinéticos de termoresistencia

Obtención de datos cinéticos de termoresistencia Tratamiento isotermo (Tª constante) Tratamiento no isotermo (Rampa de Tª) (Rampa de Tª-Tª constante)

TRATAMIENTO TÉRMICO DE Lactobacillus plantarum EN SUERO DE JUGO DE NARANJA Llenado de capilares (100 μl) Cerrado a la llama 50- 57.5 ºC durante 10 a 120 s Tratamiento térmico Siembra y recuento L. plantarum CECT (220) [ ] inicial Fase estacionaria 9 x 10 8 ufc/ml

Capilares Data logger Baño calentamiento Baño enfriamiento

Detalle termorresistómetro

Modelos de inactivación: Velocidad alta de muerte de los microorganismos por la acción de un agente activo Modelos de supervivencia: Disminución de la carga microbiana de forma mas lenta y no implica esterilidad comercial Los modelos matemáticos son los mismos en ambos casos

A) Modelos logarítmicos La modelización matemática comenzó en 1920 Modelos primarios A) Modelos logarítmicos La modelización matemática comenzó en 1920 con los cálculos de tiempo de destrucción térmica. Los valores D y Z se usaron con éxito para asegurar que los alimentos enlatados estaban libres de riesgo de alteración por Cl. botulinum Estos modelos establecen la relación existente entre el tiempo y la inactivación de un microorganismo a una temperatura dada.

Los datos experimentales para la obtención de los parámetros, D y Z, que definen la inactivación de los microorganismos se pueden analizar de diferentes maneras: Dos regresiones lineales consecutivas  Una regresión no lineal en un solo paso

Curva de supervivencia 3 Log. supervivientes 2 DT 1 Tiempo de exposición

Curva de muerte térmica DT2 Log DT DT1 z T1 T2 Temperatura

Tratamiento isotérmico Una regresión no lineal Tratamiento isotérmico 1 log N = log No - × t æ T - T ö R ç ÷ × è ø D 10 z R

Parámetros cinéticos predichos para dos cepas de Bacillus cereus Tabla 1. Parámetros cinéticos predichos para dos cepas de Bacillus cereus Temperature D value (min) (ºC) AV TZ415 AV Z421 Linear Non-linear 85 90 95 100 105 16 ± 5 a 3.9 0.7 0.94 0.17 0.22 0.06 ND 17.1 0.5 4.04 0.08 0.95 0.02 0.225 0.007 40 20 11 3 2.5 0.4 0.60 0.19 39 9.8 2.48 0.63 0.03 z (ºC) 8.1 0.3 7.97 0.10 8.0 0.6 8.4 0.2 not determined. D value confidence interval (95%).

Curvas de equivalencia Log (No/N) predicted Log (No/N) observed 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Log (No/N) predicted Log (No/N) observed 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4

Residuos normales con media cero Frequency (Log Nexp - Log Ncal) 5 10 15 20 25 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 (Log Nexp - Log Ncal) Frequency Residuos normales con media cero 5 10 15 20 25 30 35 -0.7 -0.46 -0.22 0.02 0.26 0.5 (Log Nexp - Log Ncal) Frequency

CÁLCULO DE LAS REGIONES DE CONFIANZA

Regiones de confianza conjunta D (min) z (ºC) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 7.5 7.9 8.3 8.7 9.1 95ºC AV Z421 90ºC AV TZ415

Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla 14 14 118 ºC 115 ºC 12 12 Z (ºC) Z (ºC) 10 10 8 8 6 6 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 12 D (min) D (min)

Efecto del pH sobre el valor D del B. stearothermophilus en ensaladilla 14 14 121 ºC 125 ºC 12 12 Z (ºC) 10 Z (ºC) 10 8 8 6 6 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 1 2 D ( min ) D (min)

Diferentes tipos de curvas de supervivencia Hombro 3 Concavidad hacia abajo Lineal Log. supervivientes 2 Concavidad hacia arriba Cola 1 Tiempo de exposición

Los hombros se han atribuido:  a la necesidad de mas de un evento dañino  a la necesidad de una activación de las esporas

Presencia de colas Teoría vitalista Distribución de termorresistencia La termorresistencia depende del ciclo celular en que se recoja Teoría mecanicista

Otras explicaciones Nueva aproximación Presencia de artefactos experimentales Mezcla de poblaciones Otras explicaciones Nueva aproximación La curva de supervivencia es una forma acumulativa de distribución de eventos letales con el tiempo Cada organismo individual o espora de una población muere a un tiempo específico

Curvas con hombros 1 85°C 0.1 90°C 0.01 AVTZ415 strain 95°C 0.001 S(t) (N/No) 100°C 0.0001 0.00001 8 16 24 32 40 Time (min)

Función de supervivencia MODELO DE WEIBULL n ÷ ø ö ç è æ = a t - e S(t) a= Scala n= Forma

El parámetro de forma “n” se puede considerar como un índice de comportamiento Si n >1 describe una curva con hombro Si n < 1 describe una curva con cola Si n = 1 la curva de supervivencia sera lineal en coordenadas semilogarítmicas y se comportará como una reacción de primer orden El parámetro de escala “a”se puede considerar como una constante de velocidad de reacción. Similar al Valor D

Curvas de supervivencia 1.00 95°C AVZ421 strain 0.80 97.5°C 0.60 100°C S(t) (N/No) 0.40 102.5°C 0.20 105°C 0.00 0.00 3.20 6.40 9.60 12.80 16.00

Medida de la resistencia térmica ( ) -1 n 1 a tc + G × = G = Función Gama

Comparación entre el número supervivientes experimentales y predichos (min) N N N obs W B 19900000 19900000 24130989 4 13266000 13710010 12433299 8 8360000 7629650 6406158 12 3450000 3759861 3300722 16 1417000 1688864 1700671 A - 1.10 1.20 f

Parámetros para la distribución de Weibull y valor D T Weibull distribution Bigelow model (ºC) scale (a) shape (n) tc (min) D (min) 95.0 8.3 1.36 8.0 14 ± 5 a 97.5 4.5 1.72 4.0 5.9 ± 1.5 100.0 2.10 1.58 1.85 2.5 ± 0.5 102.5 1.35 2.03 1.20 1.5 ± 0.5 105.0 0.65 1.69 0.58 0.76 ± 0.18 z (ºC) (8.9) 8.1

Curva de supervivencia para Bacillus pumillus en condiciones isotérmicas 1 0.1 0.01 Fracción supervivientes 0.001 0.0001 0.00001 0.00 2.40 4.80 7.20 9.60 12.00 Tiempo ( min )

Curva de supervivencia para Bacillus pumillus mediante Weibull en condiciones isotérmicas 90 º C -3 a =5.47, n =0.32 -6 Ln fraction of survivors -9 -12 -15 0.00 2.20 4.40 6.60 8.80 11.00 Tiempo( min )

Métodos no isotérmicos Ventajas de los métodos no isotérmicos Se obtiene una gran información de cada experimento  Se ahorra tiempo  Se ahorra material y costo en mano de obra  Son mas cercanos a lo que en realidad pasa en un proceso industrial

Tratamiento no isotérmico Ecuación 1 é ù é No ù ê n 1 ú å Log Log = Log × D t ê ú ê ú ë N û æ T - T ö ç R ÷ ê i = 1 ú D × 10 è z ø ë û R

æ T - T ö 10 ç ÷ - 1 No z æ T - T ö è z ø Log = ´ 10 ç ÷ ´ N D ´ ln 10 Ecuación 2 æ T - T ö 10 ç ÷ - 1 No z æ T - T ö è z ø Log = ´ 10 ç R ÷ ´ N D ´ ln 10 è z ø a R a=Velocidad de calentamiento

Bacillus stearothermophilus 7 6 5 4 experimental Log N 3 predicho 2 1 116 118 120 122 124 126 128 Temperatura (ºC)

Distribución de residuos 10 20 30 40 50 60 70 80 -0.4 -0.2 0.2 0.4 (Log Nexp - Log N cal) Frecuencia

Regiones de confianza conjunta

Bacillus cereus Temperature D (min) (ºC) non-isothermal Isothermal 85 90 95 100 16.0 3.93 0.96 0.236 17.1 4.04 0.95 0.225 z ( ° C) 8.19 7.97 A f b 1.11

Modelos secundarios de inactivación

superficie de respuesta Los modelos secundarios describen las respuestas de los parámetros de los modelos primarios a los cambios en las condiciones medioambientales superficie de respuesta Ln(spec.g.rate) pH NaCl (%)

Tanto los parámetros que definen las curvas de Modelos secundarios Tanto los parámetros que definen las curvas de Inactivación D ó z, como los que definen las curvas De crecimiento m o , se ven afectados por factores Mediombientales pH, ClNa, aw, entre otros.

Los modelos probabilísticos o matemáticos que relacionan las variables dependientes, parámetros cinéticos, con los factores medioambientales son los denominados modelos secundarios

Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993) Modelos secundarios de inactivción Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993) Lnk = c0+(c1/T)+c2pH+c3(pH)2+

Modelo basado en la ecuación de Bigelow (Mafart y Leguérinel, 1998) LogD = LogD*-(1/zT)(T-T*)-(1/zpH)2(pH-pH*)2+

Modelo cuadrático polinomial (Fernández y col., 1996) LogD = c1+c2T+c3pH+c4(TpH)+c5T2+c6(pH)2 +

Modelo básico (Fernández y col., 1996) LogD = c1+c2T+c3pH+

Modelo basado en la distribución de Curvas con colas o con hombros Modelo basado en la distribución de Frecuencia de Weibull (Fernández y col., 2001)

Obtención de datos y modelos matemáticos de crecimiento

Obtención de curvas de crecimiento

Condiciones de crecimiento Microorganismo de colección Condiciones de recuperación Condiciones de crecimiento en medio de referencia Curva de crecimiento en el alimento

Microorganismo de colección Se obtiene de colecciones tipo en forma liofilizada: CECT (Colección Española de Cultivos Tipo) ATCC (American Type Culture Collection)

Condiciones de recuperación Siguiendo las instrucciones de la colección: Transferir el liófilo a medio líquido de referencia para el microorganismo a su temperatura de crecimiento

Condiciones de crecimiento en medio de referencia Específicas para cada microorganismo: Medio líquido de referencia para el microorganismo a su temperatura de crecimiento Toma de muestra a intervalos y lectura de absorbancia en espectrofotómetro: Absorbancia Densidad óptica Crecimiento Obtener población homogénea

Curva de crecimiento en el alimento Se parte de un vial de microorganismo crecido anteriormente Inoculación en el alimento a estudio a la temperatura problema Recuento en placa a intervalos determinados

Crecimiento de Salmonella typhimurium en medio de referencia (TSB) a 37 ºC Fase log Fase Latencia Fase estacionaria

Modelos matemáticos de de crecimiento

Los modelos de nivel primario describen cambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo. crecimiento

Bacterial growth curves at different temperatures Modelos primarios de crecimiento Bacterial growth curves at different temperatures Constant spec.rate

Tipo de modelos Es la situación mas Crecimiento/no crecimiento simple Tiempo para crecimiento Modelos de crecimiento El parámetro a medir es el tiempo desde la inoculación hasta la aparición de turbidez o formación de toxina Son modelos sofisticados a través de los cuales se deducen distintos parámetros que definen el crecimiento de la bacteria

Tiempo formación toxina C. botulinum =(4.61+0.00228*A7-0.276*B7+0.000026*(A7*B7)-0.000000724*(A7)^2+0.00415*(B7)^2)

Exponencial Logístico Gompertz Baranyi

Yt=A*Cexp{-exp[-B(t-M)]} Modelos de crecimiento El modelo primario más utilizado ha sido la ecuación de Gompertz. La ecuación es una función doble exponencial con cuatro parámetros que describe una curva sigmoidea asimétrica Yt=A*Cexp{-exp[-B(t-M)]}

Yt= logarítmo de UFC por mililitro en el tiempo t A= logarítmo de la concentración inicial C= Cambio en el número de células entre el inóculo y la fase estacionaria B= ritmo de crecimiento relativo M= tiempo al que se alcanza el ritmo máximo de crecimiento

Parámetros de crecimiento bacteriano. Clásicos Ln X max BC/e A C M Ln X M-(1/B) lag (tiempo)

Los cuatro parámetros se pueden relacionar matemáticamente con características culturales familiares a los microbiólogos. m = Velocidad de crecimiento exponencial {[log(cfu/g)]/hr} BC/e GT =Tiempo de generación (hr) Ln(2)*e/CB  = Duración fase de latencia (hr) M-1/B

Los parámetros de la función de Gompertz se pueden determinar mediante una regresión no lineal, tal como se hacía para la determinación de los parámetros de las curvas de inactivación Para un buen ajuste se necesitan como mínimo 10 puntos por curva de crecimiento

La ecuación de Gompertz ha sido reparametrizada para poder obtener los parámetros m,  directamente (Zwietering y col). lnNt/No= Bexp{-exp[(m e/B)(-t)+1]} C= m e/B B=(m e/C) +1

Modelo de Baranyi y Robert Para solucionar los defectos del modelo de Gompertz Baranyi y Robert proponen un modelo nuevo. Incluye una fase de crecimiento exponencial lineal m (x) Incluye una fase de latencia que se calcula mediante una función de ajuste  (t)

Yo=lnx(to) logarítmo de la concentración de células a tiempo 0 La solución para el logaritmo natural de la concentración de células y=lnx(t), es: Yo=lnx(to) logarítmo de la concentración de células a tiempo 0 ymax=lnxmax logarítmo de la concentración máxima de células m= Parámetro de curvatura

La función A(t) es el retraso gradual en el tiempo ho= -ln o

o= Estado fisiológico de las células a tiempo 0 Z1(t)= La cantidad por célula de una sustancia crítica que causa un cuello de botella en el crecimiento

Modelos log concentr vs tiempo Gompertz Lag: 8.6 h m : 1.11 h-1 Error: 0.10 Arctangent Lag: 8.5 h m : 1.35 h-1 Error: 0.14 Baranyi Lag: 7.6 h m : 0.97 h-1 Error: 0.07

Sqr(slope) at different temperatures Modelos secundarios de crecimiento Sqr(slope) at different temperatures Constant b-value (Ratkowsky)

Modelos secundarios de crecimiento Los modelos secundarios de crecimiento se pueden Agrupar en tres categorías:  Modelos de raiz cuadrada (Bélenrádek)  Modelos basados en la ecuación de Arrhenius (Davey)  Modelos polinomiales o de superficie de respuesta

Modelos secundarios de crecimiento Lineal Polinómicos Raíz cuadrada

Superficie de respuesta Es una ecuación de regresión ajustada usando técnicas de regresión normales y que puede contener términos lineales, cuadráticos, cúbicos incluyendo interacciones. La ecuación es totalmente descriptiva del grupo particular de datos usados para su cálculo y sin implicar relaciones Teóricas o mecanísticas.

Ejemplos Relación lineal para describir alteración en pescado (Spencer y Baines 1964) Velocidad de alteración (k)= Ko(1+aT) a= constante lineal Ko= Velocidad a 0ºC T= Temperatura

Se han utilizado ecuaciones polinómicas para Predecir el valor de los parámetros B y M de la Ecuación de Gompertz en función del pH, Atmósfera anaeróbica y aeróbica, la concentración de NaCl y la temperatura de almacenamiento en Salmonella y Listeria (Gibson y col 1988, Buchanan y col 1989)

Los modelos actuales son deterministas Evolución Modelos probabilísticos que describan la Variabilidad y la incertidumbre Modelo de Weibull

Evaluación y validación de los modelos

Cómo se puede validar un modelo A través de ciertos índices (Estadísticamente) Con nuevos datos obtenidos de forma independiente En condiciones reales de elaboración del alimento

VALIDACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS MODELOS La validación es una de las etapas más importantes en el desarrollo de un modelo de inactivación o de crecimiento. Validación matemática Validación en alimento Dos fases

Índices estadísticos Coeficiente de determinación Estudio de los residuos Datos influyentes Multicolinealidad Índices para evaluar modelos en microbiología de alimentos

Coeficiente de determinación Este coeficiente indica la proporción de variabilidad de las observaciones de la variable dependiente (lnK) explicada por el conjunto de las variables independientes consideradas en cada caso.

Estudio de los residuos Los residuos se definen como la diferencia entre el valor observado de la variable dependiente y el valor ajustado en el modelo.

Pruebas habituales para los residuos Descriptivas básicas Test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov) Linealidad, homocedasticidad (igual varianza) y valores atípicos Autocorrelación entre residuos consecutivos (Durbin-Watson)

Normalidad gráfico P - P de los Residuos Residuos ,25 ,20 ,15 ,10 ,05 - ,00 ,30 ,35 ,40 16 14 12 10 8 6 4 2 Desv. típ Media = 0,00 N = 60,00 Normalidad gráfico P - P de los Residuos Valor observado ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,5 Valor Normal esperado 0,0

Homocedasticidad y valores atípicos valores ajustados 1,5 1,0 ,5 0,0 - ,3 ,2 ,1 ,0 ,4 residuos

Linealidad LOGD LOGD TEMP2 NACL LOGD PH2 2000 1000 - ,8 ,6 ,4 ,2 ,0 - LOGD ,8 ,6 ,4 ,2 ,0 1,0 NACL 2,0 1,5 1,0 ,5 0,0 - LOGD ,4 ,2 ,0 ,6 PH2 10 - 20 LOGD ,6 ,4 ,2 ,0

Autocorrelación dl du 4-du 4 4-dl 2 0<d<dl = aceptamos correlación positiva dl<d<du= test no concluyente du<d<4-du= no autocorrelación 4-du<d<4-dl= test no concluyente 4-dl<d<4= autocorrelación negativa

Tabla test Durbin-Watson número datos Número de variables 1 2 3 4 dl du dl du dl du dl du 0.95 1.23 0.83 1.40 15 16 17 18 19 0.98 1.24 0.86 1.40

Datos influyentes En algunos problemas se observa que un número pequeño de observaciones tienen una influencia exagerada sobre el modelo ajustado. Una forma de averiguar la presencia de datos influyentes es mediante la distancia de Cook. Se considera que un dato es influyente si el valor de la distancia de Cook que le corresponde es mayor de 1

Valores máximos de la Distancia de Cook para cada uno de los modelos analizados Microorganismo/ alimento N Arrhenius Bigelow Cuadrático Básico C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz 32 0,663 0,502 0,347 0,334 0,323 0,263 0,402 0,429 0,156 0,636 0,525 0,426 C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes 30 ,233 0,168 0,689 0,133 0,337 0,241 0,424 B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL) 12 0,324 0,600 0,293 0,480 0,374 1,265 0,354 0,788

Nuevos datos obtenidos de forma independiente Hay dos índices que nos pueden dar de forma rápida la diferencia entre los valores predichos por el modelo y aquellos obtenidos de forma independiente para distintas combinaciones de las variables independientes BIAS Factor de exactitud

Valores del factor BIAS para cada uno de los modelos analizados Microorganismo/ alimento n Arrhenius Bigelow Cuadrático Básico C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz 32 0,98 1,00 1,01 0,96 1,06 2,02 0,99 C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes 30 1, 00 1,11 0,93 B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL) 12 0,50 4,10 0,92 1,08

Valores del factor de exactitud para cada uno de los modelos analizados Microorganismo/ alimento n Arrhenius Bigelow Cuadrático Básico C. botulinum Spaghetti Macarrón Arroz 32 1,17 1,07 1,06 1,08 2,02 1,14 1,16 1,18 C. sporogenes Tampón fosfato Puré de guisantes 30 1,27 1,23 1, 10 1,11 1,12 1,09 1,10 B. stearothermophilus Champiñón (cítrico) Champiñón (GDL) 12 1,29 1,32 1,15 2,01 4,10 1,13

Modelos terciarios

Los modelos terciarios son programas de ordenador que transforman a los modelos primarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo Inactivación crecimiento

Every model is wrong. The question is, how much wrong still useful it can be. (Box and Draper)

Gracias por su atención