Menu de hoy Continuamos con campos Eléctricos de distribuciones de carga continua Flujo Eléctrico Ley de Gauss Aplicaciones de la ley de Gauss Conductores en Equilibrio

Flujo Eléctrico El flujo eléctrico, FE, a través de una superficie es definida como el producto escalar de E y A, FE = EA. A es un vector perpendicular a la superficie con una magnitud igual a el área superficial. Esto es cierto para un campo eléctrico uniforme. Área A Normal E θ A´ = A cos θ A θ E A = A cosθ así E = EA = EA cosθ E = EA

El flujo eléctrico da el número de líneas que cruzan una superficie. ¿Qué pasa cuando el campo eléctrico no es uniforme y la superficie no es plana? Entonces dividimos la superficie en pequeños elementos y sumamos el flujo a través de cada elemento. E Unidades: N.m2 C-1 El flujo eléctrico da el número de líneas que cruzan una superficie. E dAi

Flujo Eléctrico para una superficie cerrada. Una superficie cerrada encierra completamente un volumen. Pero sobre dirección ambigua de A. Define a el punto exterior así el flujo saliendo del volumen encerrado es positivo y el flujo que entra es negativo. 1 3 2 θi E ΔAi 1 2 ΔAi E θi θi E ΔAi 3

la dirección del campo eléctrico. Ejemplo 1 Calcule el flujo eléctrico a través de un cilindro con un eje paralelo a la dirección del campo eléctrico. E A 1. La superficie curvada tiene flujo cero a través de él entonces E es perpendicular a dA ahí. 2. Para las tapas, las superficies son perpendiculares a E, y E y A son paralelos. Así el flujo a través de la tapa izquierda (en el cilindro) es –EA, mientras el flujo a través de la tapa derecha (fuera de el cilindro) es +EA. Por lo tanto el flujo neto a través del cilindro es cero.

Ley de Gauss Relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada Con la carga dentro Qin dentro de tal superficie. La ley de Gauss es usada para obtener el campo eléctrico. Solamente útil para situaciones donde la distribución de carga es simple o posee alto grado de simetría.

Haciendo uso de la Ley de Gauss Seleccione una superficie Gaussiana con la simetría que se adapte a la distribución de carga Dibujar la superficie Gaussiana tal que el campo eléctrico es constante o cero en todos los puntos de la superficie Gaussiana Usar la simetría para determinar la dirección de E sobre la superficie Gaussiana Evaluar la integral de superficie (flujo eléctrico) Determine la carga dentro de la superficie Gaussiana Encuentre E

Ejemplo 2 Use la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q. E Elegimos una superficie Gaussiana que es una esfera de radio r centrada sobre la carga puntual. Si la carga es positiva el campo apunta radialmente hacia afuera por simetría y en todas partes es perpendicular a la superficie Gaussiana r dA q La simetría nos dice que el campo es constante sobre la superficie Gaussiana. La ley de gauss da:

Ejemplo 3 Ulna esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q positiva. Calcule el campo eléctrico fuera de la esfera. La distribución de carga es esféricamente simétrica así seleccionamos una superficie Gaussiana esférica de radio r > a centrada sobre la esfera cargada. La esfera cargada positivamente significa que el campo esta dirigido radialmente hacia afuera. Sobre la esfera Gaussiana E es siempre paralelo a dA, y es constante. r E dA Q a

Ejemplo 3 continuación Encontrar el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera Seleccionamos una superficie esférica Gaussiana con radio r < a. La simetría de la distribución de carga significa que podemos simplemente evaluar el lado izquierdo de la ley de Gauss justo como antes. a Q r Pero la carga dentro de la esfera Gaussiana no es mas grande que Q. Si llamamos el volumen de la esfera Gaussiana V’ entonces

Ejemplo 3 continuación a Q E r a

Ejemplo 4 Encontrar el campo eléctrico a una distancia r de un alambre infinitamente largo con una carga positiva por unidad de longitud λ. λ + + + + + + + + + + + + + + No hay flujo en las tapas! La simetría aquí sugiere elegir una superficie Gaussiana cilíndrica que es coaxial con la línea de carga. La simetría también dicta que el campo es perpendicular a la línea de carga y esta dirigida hacia afuera. l r E

Ejemplo 5 Anteriormente establecimos que cualquier carga sobre un conductor debe residir sobre su superficie, y que el campo eléctrico fuera justamente fuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie ( y tiene una magnitud σ/ε0). Use la ley de Gauss para demostrar esto. + Superficie Gaussiana Para un conductor de forma arbitraria podemos dibujar una superficie Gaussiana dentro del conductor. Entonces hemos mostrado que el campo eléctrico dentro de un conductor aislado es cero, el campo en todo punto sobre la superficie Gaussiana debe ser cero. De la ley de Gauss podemos concluir que la carga neta dentro de la superficie Gaussiana es cero. Entonces la superficie Gaussiana puede hacerse arbitrariamente cercana a la superficie del conductor, cualquier carga neta debe residir sobre la superficie del conductor.

Ejemplo 5 continuación E + Podemos también usar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico justo fuera de la superficie de un conductor cargado. Suponemos que la densidad de carga es σ. Entonces el campo dentro del conductor es cero no hay flujo a través de la cara del cilindro dentro del conductor. Si E tuviera una componente tangencial a el cilindro entonces las cargas libres deberian moverse bajo la acción del campo creando corrientes superficiales. Así E es perpendicular a la superficie del conductor, y el flujo a través de la superficie cilíndrica debe ser cero. Consecuentemente el flujo neto a través del cilindro es EA y la ley de Gauss da: + E A

Ejemplo 6 Ulna cáscara esférica conductora de radio interno a y radio externo b con una carga neta -Q esta centrada sobre una carga puntual +2Q. Use la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en todo punto, y determine la distribución de carga sobre la cáscara esférica. a b -Q Primero encontrar el campo para 0 < r < a Esto es lo mismo como en el ejemplo 2 y es el campo debido a una carga puntual con carga +2Q. +2Q Encontrar el campo para a < r < b El campo debe ser cero dentro del conductor en equilibrio. Así de la ley de Gauss Qin es cero. Hay una + 2Q de la carga puntual asi debemos tener Qa = -2Q sobre la superficie interna de la cáscara esférica. Entonces la carga neta sobre la cáscara es -Q podemos obtener la carga sobre la superficie externa de Qnet = Qa + Qb. Qb= Qnet - Qa = -Q - (-2Q) = + Q.

Encontrar el campo para r > b Ejemplo 6 continuación a b -Q Encontrar el campo para r > b La simetría del problema significa que el campo en esta región es radial y en todo punto perpendicular a la superficie gaussiana esférica. Además, el campo tiene el mismo valor en todo punto sobre la superficie Gaussiana, entonces la solución procede exactamente como en el ejemplo 2, pero Qin=2Q-Q. +2Q La Ley de Gauss ahora da:

Resumen Dos métodos para calcular el campo eléctrico Ley de Coulomb y Ley de Gauss. Ley de Gauss: Fácil, método elegante para distribuciones de carga simetricas. Ley de Coulomb: Otros casos. Ley de Gauss y Ley de Coulomb son equivalentes para campos eléctricos producidos por cargas estáticas