Identificación de Sistemas Identificacion de modelos parametricos

Contenido Los modelos parametricos Estructura de los modelos LTI discretos Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung) Métodos para el ajuste de parámetros Método de estimación por mínimos cuadrados (LS)

Los modelos parametricos Y U Proceso Modelo

Los modelos paramétricos Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros relacionan las señales de interés del sistema: entradas, salidas, y perturbaciones Y U Modelo

Los modelos paramétricos En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera Regresiones lineales Regresiones no lineales Modelos conceptuales “fisicos” Modelos dinámicos Fuzzy o con redes neuronales,

Estructura de los modelos LTI de tiempo discreto

Estructura de los modelos Los modelos LTI de tiempo discreto son modelos paramétricos los datos que sirven de base para la identificación se obtienen por muestreo. ZN = {u(1), y(1), u(2), y(2), ..., u(N), y(N)}

Estructura de los modelos Los modelos LTI de tiempo discreto pueden expresarse como una ecuación en diferencias finitas

Estructura de los modelos en terminos del operador de retardo retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida.

Funcion de transferencia La relacion de entrada-salida se puede representar en terminos del operador de retardo como una “Funcion de transferencia”

Sistema causal Sistema causal Un sistema es causal si la respuesta del sistema en un instante t depende sólo de la entrada en ese instante y de instantes anteriores.

Respuesta impulsiva En terminos de la respuesta impulsiva, , la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo Para sistemas estables

Respuesta impulsiva La respuesta impulsiva, puede verse como un operador Para sistemas estables

Respuesta impulsiva La respuesta al impulso del sistema es simplemente la serie que resulta de la division de los polinomios del numerador por el denominador de la funcion de transferencia

Respuesta impulsiva Ejercicio: Dado el sistema LTI Encontrar los coeficientes de la respuesta impulsiva y = [0 0 0.5000 -0.4000 0.0000 -0.0560 0.1072 -0.0125 . . .]

Estructuras de los modelos LTI discretos estándar (Ljung)

Los modelos paramétricos estándar A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo En la identificacion de sistemas se recurre a los modelos estándar de Ljung, cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente AR, ARX, ARMAX, . . .

Los modelos paramétricos estándar A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo Al orden del modelo se le denomina complejidad del modelo ARX de segundo orden

Los modelos paramétricos estándar Los modelos LTI discretos son relaciones entre polinomios, El proposito de la identificacion es encontrar los coeficientes de los polinomios (parametros)

Presencia de perturbaciones La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.

Presencia de perturbaciones Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones, ruido a la entrada del sistema ruido que entra en alguna parte dentro del sistema ruido a la salida del sistema entradas exógenas al sistema Y U Proceso perturbaciones

Sistema generador de datos Con el fin de simplificar la representacion se considera que todas las perturbaciones entran en la salida

Caracterización de las perturbaciones Una simple aproximación de v(t) podría ser donde e(t) es un proceso “ruido blanco”

Sistema generador de datos

Sistema generador de datos G(q) modela la parte determinista. H(q) modela la parte estocástica.

Sistema generador de datos Observaciones: v(t), es un proceso estocástico. Pero las perturbaciones que observamos son realizaciones del proceso estocástico En los métodos de estimación de parametros discretos los errores de modelado tambien se incluyen en v(t)

Respuesta impulsiva y el modelo de ruido Un modelo LTI puede ser especificado por : la funcion densidad de probabilidad de e(t)

Modelos lineales parametricos Descripción del modelo : la fdp de e(t) (ruido blanco) En realidad es un conjunto de modelos

Familias de modelos (Ljung) Es posible agrupar los modelos en dos bloques: Modelos en que

Modelos en que H(q) = 1 Modelos de media ajustada, MA modelos de respuesta impulso finita (FIR)

Modelos en que H(q) = 1 Modelos del error en la salida, OE.

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos con variables exógenas, ARX

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos autoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX G y H tienen el mismo denominador

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos Box-Jenkins, BJ y Una propiedad particular de esta estructura es que G y H no tienen parámetros comunes.

Modelos en que H(q) ≠ 1 Modelos ARARX Modelos ARARMAX

Estructura PEM Todas estas familias de modelos se puede representar por Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

Estructura PEM Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales

Ejercicio Escriba un modelo de segundo orden con un retardo para cada uno de los modelos propuestos Modelo de media ajustada, MA Modelo del error en la salida, OE Modelo autoregresivo con variable exógena, ARX Modelo autoregresivo de media móvil y variable exógena, ARMAX Modelo Box-Jenkins, BJ Introduzca este modelo en matlab

Métodos para el ajuste de parámetros

procedimiento del modelado experimental

Eleccion de la estructura Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios es decir na, nb, nc, nd, nf y nk. Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes ai, bi, ci, di y fi

Eleccion de la estructura El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real Puede ser necesario ensayar con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma estructura hasta encontrar un modelo satisfactorio.

Eleccion de la estructura Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.

Eleccion de la estructura Ejemplo: Supóngase el sistema ¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

Eleccion de la estructura: Ejemplo El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.

Eleccion de la estructura: Ejemplo El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE). ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos Hemos denominado error de predicción es la salida estimada por el modelo en el instante t.

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos Los métodos de estimación de parametros tienen por objetivo: Según el modelo considerado Estimar los parámetros de los polinomios: A, B, C, D y/o F, de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo.

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos En el caso de la ecuación general PEM

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos La ecuación de los residuos se puede evaluar considerando dos términos: Modelización de la parte determinista Modelización de la parte estocástica

Modelado de la parte determinista Relación lineal entre el error de predicción y los coeficientes de los polinomios A y B Relación no lineal entre el error de predicción y los coeficientes del polinomio F métodos iterativos métodos analíticos

Modelado de la parte estocástica Los errores de modelado, representados, en parte, en e(t), no son conocidos y la relación que hay entre los coeficientes de los polinomios y los residuos es no lineal. métodos de estimacion iterativos se deben tambien estimar los valores de e(t)

Método de estimación por mínimos cuadrados (LS) Y U Proceso Modelo Método de estimación por mínimos cuadrados (LS)

Las estructuras ARX y FIR Las estructuras ARX y FIR tienen la propiedad que: la predicción con un paso de anticipacion es una función lineal de los coeficientes de los polinomios, los que constituyen el vector de parámetros

Modelo de predicción para una estructura ARX Todos los términos de la derecha son simples productos de una muestra de los datos y un coeficiente de los polinomios

Solucion: Minimos cuadrados En estas condiciones Forma alterna equivalente

Problemas Ver el documento Tema 3_problemes.pdf De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003 Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003 López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002. Rengifo Carlos Felipe, Identificacion de Sistemas. Notas de Clase. Departamento de Electronica, Control e Instrumentacion. Universidad del Cauca. Marzo 2005.

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