Prof. Pedro José Tineo Figueroa Unidad VII: Transferencia de Calor por Conducción Prof. Pedro José Tineo Figueroa

OBJETIVO TERMINAL Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los Mecanismos de Transferencia de Calor y Calcular la Transferencia de Calor en Sólidos con Geometría Sencilla

OBJETIVO ESPECÍFICOS Interpretar los mecanismos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación. Interpretar el principio de transferencia de calor por conducción. Desarrollar las ecuaciones de calor por conducción y coeficiente de conducción térmica Demostrar la Ley de Fourier Aplicar esta Ley en la determinación del flujo de calor a través de placas, cascarones cilíndricos y esféricos. Desarrollar las ecuaciones para estudiar las aletas de enfriamiento de sección transversal constante

CONTENIDO Introducción a la Transferencia de Calor. Mecanismos de transferencia de calor. 2. Conducción de Calor en una Dirección 2.1 Definición 2.2 Características 2.3 Conductividad Térmica 3. Ley de Fourier. 4. Aplicaciones de la conducción en placas, cilindros y esferas. 5. Aletas de sección transversal constante 6. Aplicaciones Bibliografía: Incropera, Dewitt. FUNDAMENTALS OF HEAT AND MASS TRANSFER. Wiley. 5th Edition. 2002 Mills, A. F. TRANSFERENCIA DE CALOR. Mc Graw Hill 2000. Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Introducción Transferencia de Energía Para la evaluación de un proceso que involucre la rapidez con que se transfiere la energía, es fundamental considerar los siguientes aspectos: La rapidez con la que se efectúa la transferencia de energía. El intercambio de calor con los alrededores. El tamaño y materiales del equipo de transferencia de calor. Costo de adquisición y economía de estos equipos. Estas consideraciones requieren un amplio conocimiento de los mecanismos básicos de transferencia de energía y los métodos para evaluar cuantitativamente tales relaciones además de las cantidades importantes asociadas a ellas.

Conceptos Básicos Transferencia de Calor: Es energía en tránsito debido a un gradiente de temperatura. Esta se puede expresar de distintas formas: Q [J]: Se refiere al calor neto transferido q [W]: Transferencia de Calor por unidad de tiempo, flujo de calor. q’ [W/m]: Flujo de Calor por unidad de longitud. q’’ [W/m2]: Flujo de Calor por unidad de área. q [W/m3]: Generación volumétrica de Calor. Mecanismos de Transferencia de Calor: Existen tres formas de transferencia de calor: Conducción, Convección y Radiación. Conducción: Se realiza fundamentalmente en dos formas: a) Por interacción molecular donde el mayor movimiento de una molécula a un nivel de energía superior (temperatura) imparte energía a las moléculas adyacentes de niveles de energía inferiores.

Conceptos Básicos b) El segundo mecanismo es por electrones “libres”. Este mecanismo es significativo principalmente en los sólidos metálicos puros: la concentración de electrones libres varía de manera considerable en las aleaciones y disminuye mucho para sólidos no metálicos. Convección: La transferencia de calor por convección implica el cambio de energía entre una superficie y un fluido adyacente. Debe destacarse que existen dos tipos de convección: Forzada y Natural ó Libre. La ecuación que cuantifica este mecanismo se conoce como la Ley de Enfriamiento de Newton. h: Coeficiente Convectivo de Transf. de Calor [W/m2K) Ts:Temperatura de la Superficie [K] T: Temperatura de bulto del fluido [K] q’’=h(Ts-T) Ts T h

Conceptos Básicos Radiación: La transferencia de calor por radiación difiere de los mecanismos anteriores en que no se requiere ningún medio para la propagación del calor. Se debe a que todos los cuerpos emiten energía en forma de ondas electromagnéticas, las cuales pueden viajar en el vacío. La ley de Stefan-Boltzmann es la que rige este mecanismo de transferencia de calor: Donde: : Emisividad [adim] : Constante de Stefan-Boltzmann ( = 5,67x10-8W/m2K4) T: Temperatura absoluta [K]

Conducción Ley de Fourier: Esta ley física describe matemáticamente el mecanismo de transferencia de calor por conducción. Esta es una ley fenomenológica, esto es, que fue desarrollada por la observación del fenómeno, en vez de ser derivada principios anteriores. Para ilustrar esto consideremos el siguiente sistema: A,T1 T2 T=T1-T2 x qx Cilindro macizo, de material conocido, aislado por las paredes laterales en estado estacionario Se pueden hacer las siguientes observaciones: Manteniendo x y T constantes y variando A se observa que qx es proporcional a A. Manteniendo T y A constantes al variar x se observa que qx es inversamente proporcional a x. Manteniendo A y x constantes y variando T se observa que qx es directamente proporcional a T.

Conducción Estas observaciones en conjunto nos indican: Esta proporcionalidad se mantiene inclusive si se cambia el material, sin embargo cambian los valores del flujo de calor, por lo que la constante de proporcionalidad es una propiedad intrínseca del material: Donde k es la conductividad térmica del material, además si se hace tender x a cero se obtiene el flujo de calor: El signo – es necesario para garantizar que el flujo sea positivo, ya que siempre se transfiere de mayor a menor temperatura, lo que implica que el gradiente de temperatura siempre será negativo en esa dirección.

Conducción Dado que el flujo de calor puede ocurrir en cualquier dirección, en términos vectoriales una forma más general de la Ley de Fourier en coordenadas rectangulares sería: En esta expresión esta implícito que el sistema es isotrópico, es decir, que sus propiedades no dependen de la posición, en este sentido se puede definir la conductividad térmica a partir de la ley de Fourier como: En general: La Difusividad Térmica es otra propiedad muy usada en los problemas de conducción, indica la capacidad de un material para conducir energía en relación con su capacidad para almacenarla.

Ecuación de Calor Uno de los principales objetivos del análisis de conducción es la determinación de la distribución de temperatura y el flujo de calor. La Ecuación de Calor es una generalización de este proceso: Volumen de control diferencial, dxdydz, para el análisis conductivo en coordenadas cartesianas

Ecuación de Calor Aplicando un balance de energía (I Ley de la Termodinámica): Los términos de Es se pueden estimar mediante una expansión en serie de Taylor de primer orden, despreciando los términos de orden superior:

Ecuación de Calor Sustituyendo en el Balance y simplificando se tiene: Las componentes del flujo de calor se pueden evaluar de la Ley de Fourier, multiplicando cada una por el área diferencial respectiva: Sustituyendo se obtiene la forma más general de la Ecuación de Calor:

Ecuación de Calor Una forma simplificada de esta ecuación se obtiene asumiendo que la conductividad es constante: La Ecuación de Calor también puede ser expresada en coordenadas cilíndricas y esféricas. Coordenadas Cilíndricas: Volumen de control diferencial, dr·rd·dz, para el análisis conductivo en coordenadas cilíndricas (r, , z)

Ecuación de Calor El operador  de la Ley de Fourier expresado en coordenadas cilíndricas resulta: Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas cilíndricas, se obtiene:

Ecuación de Calor Coordenadas Esféricas: Volumen de control diferencial, dr·rsend·rd, para el análisis conductivo en coordenadas esféricas (r, , ) El operador  de la Ley de Fourier expresado en coordenadas esféricas resulta:

Ecuación de Calor Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas esféricas, se obtiene:

Conducción Unidimensional Condiciones de borde típicas en una superficie:

Conducción Unidimensional Conducción Unidimensional Estacionaria: Placa Plana: Considere un placa plana de área transversal A, cuyo espesor (L) es muy pequeño, en estado estacionario y sin generación de calor: Ts,1 Ts,2 x x=L qx Bajo estas condiciones el flujo es unidimensional en la dirección x, y la Ec. de Calor se reduce a: Asumiendo que la conductividad es constante, esta ecuación se puede integrar dos veces para obtener la solución general: Para determinar C1 y C2 se aplican las condiciones de borde:

Conducción Unidimensional Al sustituir en la solución general se obtiene: Es evidente que bajo estas condiciones, en una placa plana la temperatura varía linealmente con x. Ahora aplicando la Ley de Fourier para determinar el flujo de calor, se tiene: Analogía Térmica de la Transferencia de Calor: Una práctica muy utilizada en la resolución de problemas de transferencia de calor, es la aplicación de la analogía eléctrica de este proceso, en la cual se establecen las siguientes analogías:

Conducción Unidimensional La esencia de la analogía esta en la identificación de las resistencias térmicas. Las resistencias asociadas a cada mecanismo son las siguientes:

Conducción Unidimensional Pared Cilíndrica: Considere el siguiente cascarón cilíndrico muy largo L >> r1,r2 Ts,1 r1 r2 Ts,2 La ecuación diferencial es: Con las condiciones de borde:

Conducción Unidimensional Integrando la ecuación diferencial se tiene: Evaluando las constantes: y el flujo de calor se evalúa mediante: Sustituyendo la derivada se obtiene: Extendiendo la analogía eléctrica para este caso se tiene que:

Conducción Unidimensional Cascarón Esférico: Ts,1 r1 r2 Ts,2 La solución es análoga al caso anterior, utilizando la ecuación diferencial en coordenadas esféricas Con condiciones de borde similares se obtiene:

Conducción Unidimensional En Resumen: Geometría Resistencia Térmica [K/W] Placa Plana L/kA Pared Cilíndrica ln(r2/r1)/(2kL) Cascarón Esférico [(1/r1-1/r2)/4k] Ejemplo: Una tubería de 0,20 m de diámetro de paredes delgadas y construida de acero es usada para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar en un cuarto en el que la temperatura ambiente es de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa es de 20 W/m2K. ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud de tubería desnuda? ¿Cual es la pérdida de calor por unidad de longitud si una capa de 50 mm de aislante (k = 0,058 W/mK) es agregada a la tubería? El acero y el aislante tienen una emisividad de 0,8. Los costos asociados con la generación del vapor y la instalación del aislante son de 4$/109J y 100$/m de longitud de tubería. Si la línea de vapor es operada 7500 h/año ¿Cuántos años serán necesarios para recuperar la inversión inicial en aislante?.

Conducción Unidimensional Figura del ejemplo: L Ti R1 R2 Ts T Datos: T= 298,15 K T1= 453,37 K (Tablas Termodinámicas) R1= 0,10 m h= 20 W/m2K ka= 0,058 W/mK El circuito térmico para el caso con aislante es:

Conducción Unidimensional El circuito térmico para el caso sin aislante es:

Conducción Unidimensional El circuito térmico para el caso con aislante es necesario un procedimiento de ensayo y error, suponiendo un valor de Ts, calcular q’ para luego recalcular Ts: Con un valor inicial Ts=480 K se tiene: Se repiten los cálculos con ese valor hasta que no varíe:

Conducción Unidimensional Tabla de resultados: Iteración Ts[K] R’rad[mK/W] R’equiv[mK/W] q’[W/m] 1 480 0,0941 1,1465 135,38 302,74 2 0,2156 1,1551 134,37 303,86 3 0,2144 Por tanto:

Conducción Unidimensional con Generación Conducción Estacionaria 1-D con generación de calor: En este caso se mostrará el procedimiento para una placa plana de espesor 2L: Ts 2L Integrando y hallando las constantes se tiene: El calor viene dado por:

Superficies Extendidas (Aletas) Aletas de Enfriamiento: Son extensiones de superficie que se instalan para incrementar el área de transferencia de calor y en consecuencia el flujo de calor: Ejemplos de aletas.

Superficies Extendidas (Aletas) Para el análisis matemático considere la aleta de la figura, en estado estacionario y con una distribución de temperaturas en función solo de x: El balance de calor establece:

Superficies Extendidas (Aletas) Eliminando x y sustituyendo la expresión de qx según la Ley de Fourier: Suponiendo que la aleta es de aguja (sección transversal ctte) y que h y k se mantienen constantes la ecuación se reduce a: La solución a esta ecuación puede presentarse como: Donde:

Superficies Extendidas (Aletas) Para determinar las constantes se pueden utilizar dependiendo del caso las siguientes condiciones de borde: En la Base: En el extremo:

Superficies Extendidas (Aletas) En cada caso las soluciones son las siguientes: a) Aleta infinita: b) Extremo a temperatura constante: c) Extremo adiabático: c) Extremo convectivo:

Superficies Extendidas (Aletas) Estas expresiones son particularmente útiles para evaluar el flujo de calor total sobre una superficie extendida, se puede determinar de dos maneras: Integrando la expresión de transferencia de calor convectiva: Ó evaluando la conducción en la base: Las expresiones para el flujo de calor en cada caso son las siguientes:

Eficiencia de las Aletas La eficiencia de las aletas se define como: Donde: q: Calor transferido por la aleta. qmax: Calor máximo transferible (se supone que T=Tb) En el caso de una aleta aislada en el extremo se obtiene: En la práctica las aletas las aletas pierden calor por el extremo, se puede usar esta expresión con longitud corregida (Lc) de acuerdo a la aproximación de Jakob:

Eficiencia de las Aletas Demostración de la aproximación de Jakob: Simplificando se obtiene: Entonces la eficiencia de una aleta con convección en el extremo se puede cuantificar con la expresión:

Eficiencia de las Aletas Ejemplo: Determine la transferencia de calor desde la aleta rectangular mostrada en la figura. El extremo de la aleta pierde calor por convección. La aleta tiene un conductividad térmica de 150 W/mk. La temperatura de la base es de 100ºC y el fluido que circunda la aleta esta a 20ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección, h, es de 30 W/m2K. Tb=100 ºC T, h 0,20 m 0,40 m 0,02 m Solución:

Eficiencia de las Aletas Para otros tipos de aletas las siguiente gráficas son de mucha utilidad:

Eficiencia de las Aletas

Calor Total El calor total (qt) disipado por una superficie aleteada como la mostrada en la figura se puede definir como: Ab: Área de la base expuesta al fluido. Af: Área superficial de una sola aleta. At: Área total (Ab+NAf) N: Número total de aletas. o: Eficiencia global de un grupo de aletas. Se define la eficiencia global de un grupo de aletas como:

Aplicaciones

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.” Anónimo